均值不等式你了解多少？

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均值不等式是数量关系中一个非常好用的公式，特别是在解决极值问题时，直接利用均值不等的推论比其它方法要方便许多。

不等式属于方程的衍生，均值不等式则是平均数与不等式的结合。在数学运算中，对该部分的考查主要体现在求解不等式和均值不等式的使用。

1.不等式

根据题干中的不等关系(大于、小于、大于等于、小于等于)列出不等式，然后求出未知量的取值范围，这是不等式在数学运算中的典型运用。

【举例说明】甲、乙共有100个苹果，已知乙的苹果数小于甲的苹果数的1/4，问乙多有多少个苹果?

问乙则设乙，设乙有x个，则甲有(100-x)，得x<1/4(100-x)，得x<20，x为整数，则乙多有19个苹果。

中公点评：解不等式的方法与解方程类似，但要注意，当不等号两边同时乘以(或除以)同一个负数时，要改变不等号的方向。如-3x<12，不等号两边同时除以-3，得到x>-4。

2.均值不等式

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a=b时，等号成立。不等号左边是两个数的算术平均数，右边是几何平均数，这个不等式就称为均值不等式。由均值不等式，可以得到两个常用结论。

(1)两个正数，当它们的和是一个确定的数的时候，它们相等时乘积大。例如:a+b=10，则当a=b=5时，ab=25为大。

复杂一点的情况如下：已知3a+2b=10，求ab的大值?当3a=2b时，ab取得大值。

(2)两个正数，当它们的积是一个确定的数的时候，它们相等时和小。例如:a+b=100，则当a=b=10时，a+b=20为小。

复杂一点的情况如下：已知ab=100，求a4b的小值?当a=4b时，a+4b取得小值。

【举例说明】

已知，要求x⊕y=2x+3y的小值，利用结论，，当2x=3y=6时2x+3y取小值，则x⊕y=2x+3y=12。

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