数列的极限公式，函数极限的定义公式是什么

洛必达法则:若极限为f(x)/g(x)型，当x-〉a时，f(x)即g(x)同时趋向于0或同时趋向于无穷大时（即0比0型或无穷比无穷型），原极限f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)，这当中f'(x)及g'(x)为f'(x)及g'(x)有关x的导数。

比如：lim(x-0) x/sinx

因为当x趋向于0时x及sinx均趋向于0，故可用洛必达法则，即lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) x'/(sinx)'=lim(x-0) 1/cosx

因为当x趋向于0时cosx趋向于1，故此，lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) 1/cosx=1

极限的定义分为四个部分：

1、对任意的ε0：ε在定义中的作用就是刻画出在x→x0时，f(x)可以无限接近于常数A,其实就是常说的∣f(x)-A∣可以任意小。为了达到这一要求，故此，ε一定要可以足够小。（考试中常常在ε上做文章）

2、存在δ0：δ就是这个邻域的半径，x→x0所能取到的全部点就是（x0-δ,x0）∪（x0,x0+δ），这里x取不到x0.但是，这个邻域δ究竟有多大、距离x0有多远，我们不清楚，也没有必要清楚，只要清楚δ是很小的一个数完全就能够啦。

3、0∣x-x0∣δ：自变量x→x0时，再一次深入强调一下，x取不到x0这个点，但是，可以取到x0附近和两侧的全部点。这个问题就涉及到邻域的概念，邻域通俗讲就是以点x0为中心的附近和两侧全部点是一个局部概念。

4、∣f(x)-A∣ε：既然，ε可以足够小，则f(x)可以无限接近于常数A，其实就是常说的f(x)→A,这里需要大家特别注意一点，虽然自变量x不可以取到x0这个点，但是，因变量f(x)是可以取到A的。 非常注意：函数在一点的极限存不存在和函数在这个点是否有定义没相关系。

认为有用点个赞吧

极限的定义：

1.数列的极限：设有数列{Xn},a是常数,若针对任意给定的r0,总存在一个正整数N,使当一切nN时都拥有|Xn-a|2.函数的极限：设函数f（x）在x=a时有定义,A是常数,若任意r0,存在X0,任意xX,有|f（x）-A|

数列极限

设 {Xn} 为实数数列，a 为定数.若对任给的正数 ε，总存在正整数N，让当 nN 时有∣Xn-a∣ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。

数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，

任意取一个值ε是表达不管ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。

看nN时，注意原话是：……针对任意小的ε，总存在正整数N，让当nN时，|Xn-a|ε，……。这是表达，不管ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|ε。就是就算ε小到很小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。



扩展资料：

等价无穷小替换是计算未定型极限的经常会用到方式，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限时极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

一个实数α称为数列{a_n}的极限点，假设存在一子列{a_n_k}收敛于α。

随便写几句吧，自己觉得自己对极限的认识还不够清晰，个人拙见，故此，仅供参考吧。 -— 极限有不少种，例如数列极限，函数极限，甚至矩阵列的极限。 （ps定积分也是一种极限，但是，和以上列举的极限均不一样，并且我忘了它叫什么极限了……） -— 仅对数列极限提供一部分看法吧。（以下极限均指数列极限）

1.极限是数列的一种特点，也可理解为某种一元运算，亦即某种函数f，其定义域是数列，值域是实数。

2.极限表示数列整体的趋势，其实就是常说的说，去除数列的有限项，对极限值无影响。

3.讨论极限为1是不是等于1是个没什么意思的论题，因为极限是一种对应关系而不是实数范围内的运算。 emmm……感觉基本上不少结果就想到这么一点点……

极限是无限迫近的意思。数列 {Xn} 的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。从数学来说，怎么才可以算无限迫近呢？ 于是就产生了ε的概念，ε 实际上代表距离，ε 无限的小，就表示Xn可以无限的靠近aXn是一个追求者，a是目标，1 - n是步伐， N是追求的途中的某一个步伐。Xn不停的往前走，走到N时，Xn与a的距离已经很小了，甚至比 ε 还小。目前假定ε 无穷的小，既然如此那，Xn就无穷的接近a了。

数列极限，给你多少点伤害? 因为在数列极限制要求义中丑陋难懂的语言，让超过百分之80考生直接就晕了，启动严重怀疑自己的智商. 甚至各自不同的爆粗口，这TM谁弄出来的，你丫给我站出来，看我不把[被]你整死！基本上数列极限的定义对比初学者来说显得很抽象且很难理解，基本上算是数学分析、高等数学入门的拦路虎。

应该明确极限概念是数学分析、高等数学中基本也是重要，要优先集中精力的概念之一，而数列极限又是极限概念的先导,故此，掌握并熟悉并深入透彻理解数列极限的概念对以后进一步学习微积分学有着很重要的作用。为了帮初学者理解数列极限的定义还有如何运用数列极限的定义证明有关的数列极限问题，本篇文章给出数列极限的几点注释，期望对初学者的学习有一定的帮助。

微积分诞生于17世纪70年代，不论是连续、微分、积分还是级数等，都没有任何办法去避免地要与极限打交道. 那个年代的数学家是凭借直觉做数学的，逻辑上超级难把极限讲了解，受到很大的诟病.

一定要承认，上面说的说法不但含糊不清，而且，容易出现误解. 假设只停留在这样的感性认识上，任何有意义的深入讨论都将没办法进行下去. 因为这个原因，一定要给出严格的数学定义.但要从逻辑上把上面说的问题讲了解，反而异常困难的.

直到19世纪20年代Bolzano，Cauchy等人提出新的观点，而ε-N有语言的产生，把主从反过来看，1860年Weierstrass才严格地用今天的ε-N语言来处理极限问题.至此，微积分才算建立起无暇的逻辑基础.其实就是常说的说，语言是微积分的基石和工具.

第一我们来看有关数列极限的定义:

对数列极限ε-N定义的理解:

1、第一要明白好极限的概念。一般情况下，数列有极限，算是其在变化途中无限的趋近于一个常数（如常见的极限0）。

数列极限的等价定义:

这当中(3)、(4)是以后经常会用到的. 此外(4)中的 k 是与ε，N无关的正常数.

2、理解并掌握并熟悉基本的数列的极限：

3、针对较复杂的数列在解答途中，要先进行合理的变形和转化，如通分、求和、分子（母）有理化、分子分母同时除以n的高次项（这个方式很重要且经常会用到）等。

4、数列极限的运算法则：

通过详细的例子给出应用ε-N定义证明数列极限的方式,同时也强化对数列极限的定义的理解。

后续貂几句，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，抛开物理粒子的限制，《庄子》中的这句“不竭”，便形象描绘了这永不为零的ε-数项与极限无限地靠近着，却总是爱而不可以。在数列极限中，我们经常需通过持续性变化的ε，确定随之变化的N。N在这里就像是一个标杆，比它大的那些n才是我们想的满足范围的合格产品。针对ε，我们不是说肯定要找到那个接近0的数，而是找到那个对应的N，建立合理的联系。同样，我们的幸福标准，不向外找寻，不向高找寻。我们的成功学定义，也不用总是建立在别人的生命上。重要，要优先集中精力的，肯定是在自己的心中，建立起独属于自己价值标尺。