微分计算公式，微分方程的三个公式是什么

公式描述：公式中f(x)为f(x)的导数。微分公式的定义设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在这里区间内。假设函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（这当中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）既然如此那，称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x对应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

扩展资料

微分公式的推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，这当中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0对应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。

微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是有关△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且，还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

微分方程公式：y+P(x)y=Q(x)，微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

微积分基本公式是牛顿-莱布尼茨公式。



1、一般把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f(x)dx。



2、积分分为2种，这当中一种定积分就是求积累起来的量，例如求长度、面积、体积等。为什么说积累，因为无穷多点构成线长度，无穷多线构成面面积，无穷多面构成体体积。二元微分学用平面逼近某曲面，的曲面某点的切平面。



3、积分在初等数学的范围内是没办法解答的，但可以通过转化为二重积分求其广义积分。f是一个有关x和y的函数，称为向量场的势函数。这样叫的因素来自于物理学，在物理学里面，把电势或者重力势称为势能。

弧微分经常会用到的公式:

另外可以再延伸为请看下方具体内容公式：

这是大学高等数学才学的，ds表示弧微分 （ds）^2=(dx)^2+(dy)^2 ds dx dy 构成微分三角形，ds是斜边。 用弧的增量去乘一个函数的物理意义：这个函数代表线密度函数，故此，ds 的积分表示曲线形构件的质量，在数学上这个积分叫做：对弧长的曲线积分。

弧微分公式是ds=√[1+（y'）²]dx。弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。弧微分是设函数f(x)在区间(a，b)内具有连续导数，在曲线Y=f(x)上取定点Mo(xo，f(xo))作为计算曲线弧长的基础。

弧微分公式规定：自变量x增大的方向为曲线的正向，当弧段MoM的方向与曲线正向完全一样时，M0M的弧长S0；当弧段MoM的方向与曲线相反时，S0。弧微分的ds，近似等于弧s的增量Δs，它要比dy长，dy是它在y轴的投影。它表示的是弧的长度的变化率。

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，这当中：a、b由初始条件确定。

请看下方具体内容例题

全微分方程通解公式：udx+vdy=0。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割

一阶微分方程假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式,利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答若式子可变形为y=f(y/x)的形式,设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式,用分离系数法,两边积分解答二阶微分方程y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1,r2. 　　1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

(1). 求微分方程 (x-1)y=x(y-2)+x²+1的通解；

解：此题不可能直接分离变量，只可以用【积分常数变易法】解答。

先求齐次方程 (x-1)y=x(y-2)的通解：分离变量得 dy/(y-2)=[x/(x-1)]dx；

积分之得 ln(y-2)=∫[x/(x-1)]dx=∫[1+1/(x-1)]dx=x+ln(x-1)+lnc₁

ln[(y-2)-ln(x-1)=x+lnc₁；即ln[(y-2)/(x-1)]=x+lnc₁；故得 (y-2)/(x-1)=c₁e^x；

即齐次方程的通解为：y-2=c₁(x-1)e^x；将c₁换成x的函数u，得y-2=u(x-1)e^x............（1）

对（1）取导数得：y=u(x-1)e^x+ue^x+u(x-1)e^x............（2）

将（1）（2）代入原式得：u(x-1)²e^x+u(x-1)e^x+u(x-1)²e^x=ux(x-1)e^x+x²+1；

展开化简得：u(x-1)²e^x=x²+1； 得u=(x²+1)/[(x-1)²e^x]=[1+2x/(x-1)²]e^(-x)；

故u=∫[1+2x/(x-1)²]e^(-x)dx=-e^(-x)+2∫[x/(x-1)²]e^(-x)dx；

得出此积分【请自己作】再代入（1）式即得原方程的通解；

(2). 求微分方程 dy/dx=1-x+y²-xy²的通解

解：此方程可分离变量：dy/dx=1-x+(1-x)y²=(1-x)(1+y²)

分离变量得：dy/(1+y²)=(1-x)dx

积分之得arctany=∫(1-x)dx=-∫(1-x)d(1-x)=-(1-x)²/2+c

故得通解为：y=tan[c-(1-x)²/2]；

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。