重心向量性质定理，三角形重心空间向量公式

重心向量性质定理？

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的三分之二。

性质，假设有n个物体组成的物体系，重量为wi,位于ri（矢量，下同）,i=1,2,...n. 则这个物体系的重心为r:r=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn)那就是大多数情况下的重心计算公式物理学中可以使用微积分得出中心所在坐标利用三角形的相似性可以很快得到证明。

答： 三角形重心是三角形三条中线的交点.性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.性质二、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.性质三、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,则M点为△ABC的重心,反之也成立.性质四、设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

三角形重心空间向量坐标怎么求？

x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3。

分析过程请看下方具体内容：

若三角形的三个顶点坐标分别是A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。

则三角形ABC的重心G(x, y)的坐标公式为：

x=(x1+x2+x3)/3

y=(y1+y2+y3)/3

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和小。

4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

重心向量表示？

作图,三角形ABC,BC中点为E,AB中点D,AC中点F,作出重心为G

连接GA GB GC

因为重心各边为中线的交点,

故此，可以得到,向量GB＋向量GC=2向量GE

向量GA＋GB＋GC＝向量GA＋2向量GE

向量GE与向量GA的方向相反,且GA的模＝2倍的GE的模

（还记得有关重心的推论吧,AG：GE=2：1,这是长度关系,针对任意三角形都是成立的,记住有用处）

向量GA＋GB＋GC＝向量GA＋2向量GE＝0向量

三角形重心向量定理？

三角形重心G,向量性质为：GA+GB+GC=0

向量重心垂心定理？

（1）重心-中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心-高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心-角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心-中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等

三角形的重心向量为零向量的推导？

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),再设BC中点为D,我们清楚,重心G是中线上的一个三等分点,故此，AG=2 GD,

D的坐标是((x2 + x3)/2,(y1 + y2)/2),

再设G(x,y),故此，AG = (x - x1,y - y1),GD = ((x2 + x3)/2 - x,(y2 + y3)/2 - y),代入AG = 2GD,可以解得

x = (x1 + x2 + x3)/3,y = (y1 + y2 + y3).然后证明向量之和为0不需要我说了吧.

方式2：

因为D是BC中点,故此，可以清楚,2 GD = GB + GC,同时,因为AG = 2GD,故此，,AG = GB + GC,即GA + GB + GC = 0.

因为GA + GB + GC = 0,设坐标原点为O,故此，GA = OA - OG,GB = OB - OG,GC = OC - OG,故此，,3 OG = OA + OB + OC,然后重心坐标公式自己证明吧,OG = (OA + OB + OC) / 3

设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3] 向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3] 向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3] 向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3] 则,向量OA+向量OB+向量OC =[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3] +[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]+[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3] =(0,0) 即得证

向量重心的性质？

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

按角分

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

怎样用向量法证明三角形重心定理？

向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,按照三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,按照三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.故此，向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,以此向量AO=2/3向量AE,即向量AO与向量AE共线，故此，A、O、E三点共线，且有AO：OE=2.