三角形的外心到顶点距离公式推导，三角形外心到三边的距离

心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三个顶点距离相等，结合垂直平分线定义，外心定理实际上极好证。

外心到三个顶点的距离为半径R，已知三边长为a，b，c，他们对应的角为A,B,C。

既然如此那，有余弦定理可得出的视角。

cosA=（b^2+c^2-a^2）/2bc或者cosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac或cosC=（b^2+a^2-c^2）/2ab。

然后算出sinA或sinB或sinC，既然如此那，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，算出的R即为所求。

针对任意三角形，都可以运用上面说的公式计算。

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

三角形外心，即三角形外接圆圆心。求外心返三边距离，就是基本上等同于求圆内圆心到三条弦的距离，可以用垂径定理。

故此，可以先得出半径，假设清楚三边长度按照正余弦弦定理可以得出半径，然后按照垂径定理半径乘以圆心角一半的余弦值刚好等于边心距，圆心角一半刚好等于对应三角形内角，前面余弦定理刚好可以每个内角的余弦值

证明：设三角形三边及其对角分别是a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）

三角形外心的向量关系向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）

三角形外心向量公式：PA+PB+PC=0。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心其实就是常说的三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，这当中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

证明：设三角形三边及其对角分别是a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）三角形外心的向量关系向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）

1、三角形的外接圆定理：

（1）三角形各边垂直平分线的交点是外心。

（2）外心到三角形各顶点的距离相等。

（3）外心到三角形各边的垂线平分各边。

2、三角形的内切圆定理：

（1）三角形各内角平分线的交点是内心。

（2）内心到三角形各边的距离相等。

（3）三角形任一顶点到内切圆的两切线长相等。

（4）三角形顶点到内切圆的切线长是这点到圆心的距离与它圆外部分的比例中项。

扩展资料：

外接圆的有关性质：

1、锐角三角形外心在三角形内部。

2、直角三角形外心在三角形斜边中点。

3、钝角三角形外心在三角形外。

4、有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

5、外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等

6、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。在三角形中，三角形的外心未必在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也许在三角形边上（如直角三角形）。

7、过不在同一直线上的三点可作一个圆（且唯有一个圆）。

三角形来的外心公式：r＝c/2，c为直自角三角形的斜边。

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心其实就是常说的三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

直角三角形的内心公式：r＝（a＋b－c）/2，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

三角形的内心公式：r＝2s/l，s为三角形的面积，l为三角形的周长。设外心P坐标(x，y)

AB、BC中点为D、E

由向量PD⊥向量AB，向量PE⊥向量BC，

可得x、y的二元一次方程组，

解之就可以。

详细公式可能太长，实质上不用记住的

三角形的面积公式：S=1/2absinC。

由正弦定理可得三角形外接圆半径r：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(外接圆半径)。

故此，整理可得外接圆面积：S=abc/(4r)。