导数的题型及解题技巧，用一阶导数求二阶导数

导数的题型及答题技巧和方法？

（一）利用导数研究函数的枯燥乏味性和极值

函数的枯燥乏味性即该函数在一定范围的图象曲线的走向，若函数图象曲线向上，则为枯燥乏味递增，反之则为枯燥乏味递减。一个函数的枯燥乏味性与其导数联系紧密，定理请看下方具体内容：在区间（a，b）内，若f’（x）0，既然如此那，函数y=f（x）在该区间内枯燥乏味递增;若若f’（x）0，既然如此那，函数y=f（x）在该区间内枯燥乏味递减。

例题一：已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l时取极值，且f（-2）=-4

（1）求函数y=f（x）的表达式

（2）求函数y=f（x）的枯燥乏味区间和极值

（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c得f’（x）=3x2+2ax+b由题意得x=1和x=-1是f’（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2故此，f（x）=x3-3x- 2

（2）f（x）=3x2- 3=3（x+1）（x-1）当x-1时，f（x）0当x=-1时，f（x）=0当-1x1时，f’（x）0当x=1时，f’（x）=0当x1时，f（x）0

故此f（x）在区间[-∞，-1]上为增函数;在[-1，1]上是减函数;在[1，+∞]上是增函数。函数f（x）的非常大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=- 4。

在例题一中，第二个问题即求函数的枯燥乏味区间还有极值，我们可以比较容易从例子中看出，当函数的导数在某-区间内大于零时，函数在这个区间内枯燥乏味递增;对应的，当函数的导数在某已区间内小于零时，函数在这个区间枯燥乏味递减。因为这个原因，在解题途中，当学生碰见求函数的枯燥乏味性还有极值时，能用到求导的方法得出该函数的导数，通过导数判断其枯燥乏味性和极值。

（二）利用导数求函数的最值

函数的极小值和非常大值与函数的最大值和最小值是两个不一样的概念。极小或非常大值都是反映函数在某-.-点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。其实就是常说的说，极小值和非常大值不可以代表函数的最大值和最小值。但是，在求函数的最大值和最小值的途中，却需借助极小值和非常大值。

例题二：求f（x）=y=x4- -8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4 -8x2+2得y’=4x3-16x=4x（x -2）（x+2）令y’=0，得x=0，x=2，x=-2

代人得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11因为x=-2不在区间[-1，3]中，因为这个原因不能考虑。故此，f（x）在区间[-1，3]中的最小值为f（2）=-14，最大值为f（3）=11。一般求某一个函数在某区间内的最值，可先得出该函数在区间内的极值，再将得出的各极值与该函数在端点处的函数值比较，最大的则为函数的最大值，最小的则为函数的最小值。

（三）构造函数证明不等式

构造函数一般情况下就是一一种解题方法和技巧是根据详细数学试题，构造满足试题的函数模型，并通过该函数模型处理数学试题的方式。在解题途中通过构造函数方式可以有效得出答案，如应用于证明不等式中。

例题三：已知函数f（x）=xsub2/sub/2-ax+（a-1）lnx，a1.

证明：若a5，则对任意x1，x2∈（0，+∞），xsub1/sub≠xsub2/sub，有f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）/xsub1/sub-xsub2/sub-1。

解：f（x）=x-a+（a-1）/x=（xsub2/sub-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/xg（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）lnx+x

g（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）*2;1a5

g（x）0，即g（x）在（0，+∞）單调递增..当xsub1/subxsub2/sub0时，g（xsub1/sub）-g（xsub2/sub）0故f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）/xsub1/sub-xsub2/sub-1

当0x1x2时，[f（xsub1/sub）-f（xsub2/sub）]/（xsub1/sub -xsub2/sub）=[f（x2）-f（xsub1/sub）]/（xsub2/sub-xsub1/sub） -1

例题三中，假设只是根据常见思路进行解题，难度很大，但是，通过构造函数g（x）解题，很大程度上降低了解题难度。

（四）导数与函数零点问题

函数零点个数的判断问题是导数与函数的热点问题，实际上质仍是利用导数刻画函数图象与性质，这种类型问题的难点是含参问题中零点会随着参数而移动，确定零点所在的有关参数的区间需仔细分析。

（五）类型四：隐零点整体代换问题

设而不求是剖析解读几何经常会用到的方式，而在函数导数中，有的时候，候因为有关极值点的方程是超越方程，求不出极值点，这时候需设而不求，对参数进行整体代换。

（六）双变量同构式问题

在考题中常见到有两个变量的函数或不等式问题，假设原式子可以通过化简、变形成为两个变量不一样、结构一样的式子，问题完全就能够通过构造函数来处理.

三、巧借导数分析，别样化解难题

（1）分析函数性质，简证不等式

导数可以有效处理不等式问题，特别是证明不等式成立问题，可以通过求导的方法来分析不等式，确切来讲是采取构造思想构造新的函数，利用导数来判断函数的枯燥乏味性，求最值或判断函数符号，最后结合不等式恒成立原理来证明。

（2）妙求切线方程速解圆锥曲线

圆锥曲线因其计算过程复杂、技巧性强而成为高中数学的重要考试难点及核心内容知识，针对这当中涉及曲线切线方程的问题可以采取导数知识来解答，通过求导的方法来求切线的斜率，以此建立切线方程，需要大家特别注意的是曲线方程在转化途中因定义域所导致的差异。

（3）求导分析模型巧解实质上问题

导数在处理与生活实质上有关的数学问题中同样有着良好的解题效果，特别是针对物料问题、距离最值问题等，能用到导数来分析问题的数学模型，利用求导的方法来解答.大多数情况下思路为：从实质上问题中抽象数学模型，利用导数求函数最值，结合实质上取最优值。

请各位考生总结一下如何利用一阶导数及二阶导数分析函数的单？

从一阶导数可以看得出来原函数的增减性.而从二阶导数则可以看得出来原函数的"增减性的增减性",即原函数的"弯曲方向和程度".☆举例:原函数Y=X^2☆一阶导数Y'=2X在区间X∈(-∞,0)上Y'0,它表示这个时候原函数递减☆二阶导数Y''=2在区间X∈(-∞,0)上Y'=20,它表示这个时候原函数图象向上弯曲.☆一阶导数Y'=2X在区间X∈(0,∞)上Y'0,它表示这个时候原函数递增☆二阶导数Y''=2在区间X∈(-∞,0)上Y'=20,它表示这个时候原函数图象☆仍向上弯曲.☆原函数Y=-X^2☆一阶导数Y'=-2X在区间X∈(-∞,0)上Y'0,它表示这个时候原函数递增☆二阶导数Y''=2在区间X∈(-∞,∞)上Y'=-20,它表示这个时候原函数图象自始至终向下弯曲.☆故此，,二阶导数与一阶导数的正负性没有肯定的关联.

如何从一阶导数图像看出拐点？

拐点就是二阶导数为零的点，从一阶导数图像看，就是切线平行与x轴的点，该点就是函数的拐点。拐点就是曲线向上或向下的改变点，该点曲线凹凸出现变化，直观的说拐点使切线穿越曲线的点。拐点也许出现不可导点，这要按照详细情况详细分析。

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