傅里叶函数的计算方法，怎样求傅里叶级数的和函数

傅里叶展开式系数公式是a0=π平方/3，傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。

一． 傅里叶级数的三角函数形式

设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别是f , ω1。因为工程实质上中的非正弦周期函数，大多数情况下都满足狄里赫利条件，故此，可将它展开成傅里叶级数。即

这当中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余全部的项是具有不一样振幅，不一样初相角而频率成整数倍关系的一部分正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别是其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别是其振幅和初相角；其余的项分又称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不一样频率的正弦量的叠加。

上式有可改写为请看下方具体内容形式，即

当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。

把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实质上中所碰见的非正弦周期函数大概有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各自不同的数学书籍中直接查用。

从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后就可以证明有

a-n=an

b-n=-bn

A-n=An

ψ-n=-ψn

即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。

二． 傅里叶级数的复指数形式

将式（10-2-2）改写为

可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有

上式即为傅里叶级数的复指数形式。

下面对和上式的物理意义予以说明：

由式（10-2-5）得的模和辐角分别是

可见的模与幅角即分别是傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。

的求法请看下方具体内容：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有

上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），一般用下方罗列出来的符号表示，即

即按照式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），马上就要f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。

在（10-2-7）中，因为离散变量n是从（-∞）取值，以此产生了负频率（-nω1）。但实质上工程中负频率是无意义的，负频率的产生只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即

引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

傅里叶级数大多数情况下公式是f（t）=A0+∑Ansin（nωt+Φn），法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合

1、奇谐函数若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形对比时间轴像对称，即满足：f(t)=-f(t+T/2)则称为奇谐函数或半波对称函数，这种类型函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。

2、偶谐函数若周期信号波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足：f(t)=f(t+T/2)则为偶谐函数或半周期重叠函数，其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。扩展资料：奇谐信号唯有奇次谐波，奇谐信号特点是将信号平移半个周期、和原来的波形正好是倒的。偶谐信号信号就唯有偶次谐波。特点是把信号平移半个周期，和原来的波形重合。

其基频与奇次谐波两者的波峰、波谷的对应位置是峰对峰、谷对谷，因为这个原因可归纳出奇次谐波失真不会导致波形的正负半周不对称。

解：∵以2l为周期的函数f(x)的傅里叶级数的表达式为f(x)=(1/2)a0+∑[ancos(nπx/l)+bnsin(nπx/l)]，这当中an=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx（n=0,1,2，……），bn=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx（n=1，2，……）， ∴1题，l=1，f(x)=e^x。∴a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=∫(-1,1)e^xdx=e-1/e。an=∫(-1,1)e^xcos(nπx)dx=[(-1)^n](a0)/[1+(nπ)^2]，bn=∫(-1,1)e^xsin(nπx)dx=-[(-1)^n](a0)nπ/[1+(nπ)^2]，∴f(x)=(a0){1/2+∑[(-1)^n][cos(nπx)-nπsin(nπx)]/[1+(nπ)^2]}，这当中a0=e-1/e，n=1，2，……，∞。 2题，l=1/2，f(x)=1-x^2。∴a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)dx=11/6。an=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)cos(2nπx)dx=-[(-1)^n]/(nπ)^2，bn=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)sin(2nπx)dx=0，∴f(x)=11/12-(1/π^2)∑[(-1)^n][cos(2nπx)]/n^2}，这当中n=1，2，……，∞。

a(k)=a(k+2)说明傅里叶级数是周期性的，傅里叶级数假设是周期的，既然如此那，对应的信号肯定是离散的。而傅里叶级数的周期就是时域信号相邻离散点间时间间隔的倒数。

原信号基频1/3hz，傅里叶级数周期是2/3hz，取个倒数就是1.5s。故此，x(t)唯有在1.5s的整数倍时间点上有值

f（x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（wx） ＋b2＊sin（2wx） ＋．．．

故此，

f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（－wx） ＋ a2＊cos（－2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（－wx） ＋b2＊sin（－2wx） ＋．．．

cos是偶函数，sin是奇函数，故此，

f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．－ b1＊sin（wx） －b2＊sin（2wx） ＋．．．

故此，f（－x）的a0＇就是a0，an＇就是an，但是，bn＇＝－bn

a0=(1/π)∫(-π～π)f(x)dx=(1/π)∫(-π～0)(-π)dx+(1/π)∫(0～π)xdx=-π+(π/2)=-π/2.