等比等差数列前n项和公式，等比数列前n项和是二次函数

1.等差数列前n项和公式(1) Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22. 等比数列前n项和公式(1)当公比q=1时，Sn=na1(2)当q不等于1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或 Sn=(a1-an*q)/(1-q)

等比数列的前n项和公等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导请看下方具体内容：

因为an=a1q^(n-1)

故此，Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。从而类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。（2）式的第n项不变，

得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)，即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

（1）等比数列的通项公式的与函数关系

若一个等比数列{an}的首项为a1,公比q,则an=a1·q^(n-1)

函数观点看，

an=(a1/q)·q^

把n看成未知数x,当q＞0,且q≠1,y=(a1/q)·q^x

则该函数是一个不为0的常数与指数函数的积

｛an｝的图像就是函数y=(a1/q)·q^x图像上孤立的点

（2）等比数列的前N项和与函数的关系

当q≠1时,等比数列{An}的前n项和Sn=a1·(1-q^n)/1-q

即Sn=-(a1/1-q)·q^n+(a1/1-q)

令A=a1/1-q

上式可化简为Sn=-Aq^n+A

由此可见，很数列的等比数列前n项和Sn是一个指数型函数

q=1时，a1≠0，Sn=n·a1是n的正比例函数

等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

推导请看下方具体内容：

因为an = a1q^(n-1)

故此，Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)

qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)

q=1时,Sn=na1

q不等于1时,

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

等比数列通项公式 q=1 an=a1

q不为1时 an=a1*q^（n－1)

[a1(1-q^n)]/(1-q)

(1-q^n)/(1-q)

q:公比

q=1时，Sn=na1

q不等于1时，

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

等比数列通项公式 q=1 an=a1 q不为1时 an=a1*q^（n－1)

Sn=A0(1-q^n)/(1-q)=(A0-An*q)/(1-q)

[a1(1-q^n)]/(1-q)或(a1-a,n.q)/(1-q)等比数列的n项和值公式

等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式　　(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。　　 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；　　推广式：an=am×q^(n-m)；　　 (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)　　 Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)　　 (q为比值，n为项数）　　 (4)性质：　　 （1）若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；　　 （2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.　　 （3）若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2　　 (5) G是a、b的等比中项G^2=ab（G ≠ 0）.　　 (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.　　注意：上面说的公式中an表示等比数列的第n项。等比数列　　假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比一般用字母q表示(q≠0)。　　

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an当成自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。　　

（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)　　 Sn=A1(1-q^n)/(1-q)　　 =(a1-a1q^n)/(1-q)　　 =(a1-an*q)/(1-q)　　 =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)　　 (前提：q≠ 1)　　任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)　　（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1　　此外一个各项都是正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。　　等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式：　　无穷递缩等比数列各项和公式：针对等比数列 的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。性质　　 （1）若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；　　 （2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.　　 “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.　　 （3）若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则　　（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…　　（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。　　（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，也还是是等比数列。　　（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。　　（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。　　 (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)　　 (8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.　　注意：上面说的公式中A^n表示A的n次方。　　 (6)因为首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，以此能用到指数函数的性质来研究等比数列。　　求等比数列通项公式an的方式：　　（1）还未确定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an　　 构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）　　 a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3　　故此，a（n+1）+3/an+3=2　　 ∴｛an+3｝为首项为4，公比为2的等比数列，故此，an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3等比数列的应用　　等比数列在生活中也是经常运用的。　　如：银行有一种支付利息的方法-复利。　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，　　在计算下一期的利息，其实就是常说的大家一般说的利滚利。　　根据复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期等比数列小故事：　　按照历史传说记载，国际象棋起源自于古印度，至今见诸于文献早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时目前还没有人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需通过游戏方法来排遣郁闷的心情．　　国王对这样的新奇的游戏很快就出现了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都一定要是前一个格子麦粒数目标倍数，直到后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．　　　这位聪明的宰相究竟要求的是多少麦粒呢？稍微算一下完全就能够得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相想求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！