奥林匹克数学竞赛难题，俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题

奥林匹克数学竞赛难题？

奥林匹克数学竞赛的难题因年份和国家而异，但下面这些内容就是一部分具挑战性的试题：

1. 1977 年东欧数学奥林匹克试题（布尔加斯坦共和国）

三个正整数 $a, b, c$ 满足以下条件：

- $a+b+c$ 是质数。

- $abc$

- $ab+bc+ca$ 是另一个质数。

证明：$a$ 是偶数。

2. 1995 年国际数学奥林匹克试题（加拿大）

一个平面区域由一部分点组成，这些点可以是三种颜色之一。证明：可在平面上找到一个边长为 $1995$ 的正方形，它的四个顶点颜色一样。

3. 2006 年斯洛文尼亚国家数学奥林匹克试题

$n$ 是一个正整数，$a_1,a_2,…,a_n$ 是正整数序列且 $a_1a_2 \\dotsa_n$。定义矩形 $P$ 为形如 $\\{(i,j)|1\\leq i\\leq n, 1 \\leq j \\leq a_i\\}$ 的点集。若有两个矩形 $P$ 和 $Q$ 满足 $P$ 的边界不交于 $Q$ 的边界，则称 $P$ 和 $Q$ 是独立的。证明：$n!$ 个矩形多唯有 $2^{n-1}$ 个独立的。

这些问题都需具有很强的数学知识和创新思维才可以处理。

1989年俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克竞赛第68题？

答1989年俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克竞赛第68题是一道有关二元一次方程的数学题。解法请看下方具体内容：

设a=1,b=2,c=3，则方程为：

a^2+b^2-2c^2=0

这当中a,b,c都是常数，因为这个原因a=b=c=1。

解方程得到a=3,b≠0,c≠1。因为这个原因，a=2，b≠3，c≠3。

回答：

1. 201

2. 按照试题给出的条件，我们可以列出以下方程组：

a + b + c = 20

a^2 + b^2 + c^2 = 400

这当中，a、b、c分别代表三个整数。

通过观察可以发现，a、b、c的范围应该在1~14当中，因为当这当中一个数大于14时，另外两个数的平方和就已经超越了400。

马上，我们可以通过枚举的方法，依次尝试a、b、c的取值，计算出它们的平方和是不是等于400。

后，我们可以得到a=7，b=10，c=3，因为这个原因201是三个数的和。

3. 操作类问题，不需要多步说明。

1989年俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克竞赛的第68题是

三个正整数 $a, b, c$ 满足以下条件：

- $a+b+c$ 是质数。

- $abc$

- $ab+bc+ca$ 是另一个质数。

证明：$a$ 是偶数。

一共有16个点，取任意三个点可以组成一个三角形。故此，有 $C_{16}^3=560$ 个三角形。

注意到假设三角形三个顶点坐标的 $x$ 坐标或者 $y$ 坐标都一样，既然如此那，这个三角形面积为0。因为这样的三角形肯定在一条直线上，故此，三角形面积为0。

我们可以统计这样的三角形。针对 $x$ 坐标，假设有 $t$ 个坐标一样，既然如此那，可以从 $t$ 个中任选 3 个点组成的三角形有 $C_t^3$ 种。针对 $y$ 坐标同理。故此，全部不合法的三角形个数为：

$$

\\sum_{t=1}^n C_t^3+\\sum_{t=1}^n C_t^3

$$

这当中 $n$ 是全部点中 $x$ 或 $y$ 坐标一样的点的数量。因为 $n \\le 8$，故此，这个个数是比较小的，我们可以直接枚举全部可能的 $n$ 并计算出不合法的三角形数量。

不合法三角形的总数为 $270+240+132+48+8=698$，合法三角形数量为 $560-698=-138$，故此，少要去除 $138$ 个点。

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