平方和数列求和公式推导，等比数列求和的三个推导方法?

平方和数列求和公式推导？

平方数列求和公式推导过程是通过(n+1)³-n³=3n²+3n+1，Sn=1²+2²+。。+n²，Tn=1+2+。+n=n(n+1)/2，得：∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1，(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n，因为这个原因Sn=n(n+1)(2n+1)/6。

数列（sequenceofnumber）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项

平方数列中的每一项，马上就要每个项开平方根后，会得到一个基本数列，25这个数列，开平方根后是一个等差数列。这个数列本身是一个等比数列，也还是会得到一个等比数列。复杂的有4，将每项开平方根后，得到的数列是2，5……。

等比数列求和的三个推导方式？

求和公式推导

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4

(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)(4)a(n+1)=a1*q^n

(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)性质

（1）若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则

amxan=apxaq;

（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列;

（3）若m、n、q∈N，且m+n=2q，则 amxan=(aq)^2;

（4） 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠0);

（5）在等比数列中，首项a1与公比g都不为0

3、数学归纳法

证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；

（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；

当n=k+1时，ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；

那就是说，当n=k+1时，等式也成立；

由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。

等差数列求和公式推导？

推导过程

（1）假设公差为d的等差数列前n项和为Sn：

S n=a1+a2+a3+-·+an

（2）将数列中的每一项倒序排列，并将等差数列的规律添入：

S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+-·+[a1+(n-1)d]

（3）将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后都除以2：

S n={a1+a1+(n-1)d}×n/2

（4）按照等差数列的通项公式，将公式中的a1和an用n和d代替：

S n={n[a1+ a1+(n-1)d]} / 2

（5）为了让公式更通用，将a1+a1+(n-1)d的和记为2a1+(n-1)d：

S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2

就可以得到等差数列求和公式。因为这个原因，针对任意长度为n的等差数列，可以使用公式S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2来求和。

等差数列的求和公式可以用两种方式推导得出。

方式一：

我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d，则：

Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + [a1+(n-1)d]

然后，我们计算：

Sn + Sn = [a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)] + [(a1+(n-1)d) + (a1+(n-2)d) + ... + (a1+d) + a1]

相邻的项相加，得到：

2Sn = [(2a1 + (n-1)d) + (2a1 + (n-1)d) + ... + (2a1 + (n-1)d)]

将等号右边的一系列项写成 n 个 2a1 + (n-1)d 的形式，则：

2Sn = n[2a1 + (n-1)d]

化简可得求和公式：

Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]

方式二：

递推法利用等差数列的递推关系进行推导。

第一，我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d。假设我们已经了解了前 n-1 项的和 S(n-1)，既然如此那，第 n 项的值为：

an = a1 + (n-1)d

将前 n 项的和分解为前 (n-1) 项的和与第 n 项的和，有：

Sn = S(n-1) + an

将 an 带进得：

Sn = S(n-1) + a1 + (n-1)d

马上，我们通过多次递推，将 S1 代入，得到：

Sn = na1 + (1+2+...+(n-1))d

然后，我们利用高斯公式：

1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2

故将他代入得到：

Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]

由此也得到了等差数列求和公式。

这两种方式各有优劣，但从中可以看到公式的实质，即等差数列前 n 项和与其首项和公差当中的关系。

用倒序相加法。等差数列前n项和等于（首项+尾项）×项数÷2，按照通项公式第n项等于首项+（n-1）×公差，也可得到等差数列前n项和等于n×首项+n(n-1)d÷2。

针对首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$项的等差数列，其前$n$项和为$S_n$。下面是等差数列求和公式的推导过程：

第一，我们可以将该等差数列逆序排列，得到：$a_n$, $a_{n-1}$, $\\dots$, $a_2$, $a_1$。则原等差数列的每一项$a_k$与逆序排列的每一项$a_{n-k+1}$之和都为$(a_k+a_{n-k+1})$。

因为这个原因，原等差数列前$n$项和可以表示为：

$$

S_n = a_1 + a_2 + \\cdots + a_n

$$

将逆序排列的等差数列代入，得：

$$

S_n = a_n + a_{n-1} + \\cdots + a_2 + a_1

$$

将两个等式相加，有：

$$

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \\cdots + (a_n + a_1)

$$

因为它们是成对的，因为这个原因上式相加得：

$$

2S_n = \\underbrace{(a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \\cdots + (a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1})}_{\\frac{n}{2}\ext{项}}

$$

这当中，括号中的括号代表相加的一组成对的数值。

假设$n$为奇数，既然如此那，上式中的最后一项为$(a_{\\frac{n+1}{2}}+a_{\\frac{n+1}{2}})=2a_{\\frac{n+1}{2}}$。

因为这个原因，得到等差数列前$n$项和的公式为：

$$

S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

$$

那就是等差数列求和公式的推导过程。该公式适用于任意首项和公差已知的等差数列求和。

n2求和公式怎么推导？

数列求和公式的推导方式是由等比数列定义a(n-1)=a(n-2)q，an=a(n-1)q 共n-1个等式两边分别相加得Sn-a1=(Sn-an)q。

等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

n2求和公式的推导：

使用技巧：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

然后用累加法加以计算便可推导出。

整数平方和公式推导过程？

平方数列求和公式推导过程是通过(n+1)³-n³=3n²+3n+1，Sn=1²+2²+。。+n²，Tn=1+2+。+n=n(n+1)/2，得：∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1，(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n，因为这个原因Sn=n(n+1)(2n+1)/6。

差比数列求和公式推导过程？

例如我们有一个数列1,3,9,27, n很明显公比q = 3,首项a1 = 1.

故此，an = a1*q^(n - 1);

又可以推导出来an = am*q^(n - m); (已知数列的第m项 和q 得出第n项)

我们的等比数列的前n项和为a1 + a2 +a3 + ...... + an = sn

从a2 + a3 +a4 + ...... + an+1 = sn*q;

a1 + a2 +a3 + ...... + an = sn;知

sn - sn*q = a1 - an+1;

故此，sn(1 - q)= a1 - a1*q^n;

故此，sn= (a1 - a1*q^n)/(1 - q) = (a1 - an*q)/(1 - q);

我们的等比数列的前n - m + 1项和为

am + am+1 + am+2 + ...... + an = s(n_m);

从am+1 + am+2 + ...... + an+1 = s(n_m)*q;

am + am+1 + am+2 + ...... + an = s(n_m);知

s(n_m) - s(n_m)*q = am - an+1;

故此，s(n_m)(1 - q)= am - am*q^(n - m + 1);

故此，s(n_m)= (am - an*q) / (1 - q);

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