函数收敛性的判断方法，数列收敛的判定定理

一、判断正项级数的敛散性

1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是不是趋向于零（假设不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；假设趋于零，则考虑其它方式。

2.再看级数是不是为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，假设不是几何级数或p级数，

3.用比值判别法或根值判别法进行判别，

4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，大多数情况下应按照通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，经常会用到来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

二、判断交错级数的敛散性

1.利用莱布尼茨判别法进行认真分析判断。

2.利用绝对级数与原级数当中的关系进行判断。

3.一般若级数发散，级数未必发散；但是，假设用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散。

4.有的时候，可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判断。

三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或得出，进一步可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域。

2.针对缺项幂级数或x的函数的幂级数，可按照比值判别法求收敛半径,也可以作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径。

四、求幂级数的和函数与数项级数的和

1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质故将他化为几何级数的形式，再求和。

2.求数项级数的和，可利用定义得出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值。

五、将函数展开为傅里叶级数

将函数展开为傅里叶级数时需按照已有公式得出傅里叶系数，这时可按照函数的奇偶性简化系数的计算，然后再按照收敛性定理写出函数与其傅里叶级数当中的关系。

函数收敛性的例题，请看下方具体内容图所示。

收敛判断需先拿到一个数项级数，若数项级数收敛，则 n趋近于正无穷时，级数的大多数情况下项收敛于零，若满足其必要性，可按照比较原则或比式判别法，还有根式判别法进行判断就可以。

收敛是一个经济学、数学名词是研究函数的一个重要工具是指会聚于一点，向某一值靠近，收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

判断函数和数列是不是收敛或者发散：

1、设数列{Xn}，假设存在常数a，针对任意给定的正数q（不管多小），总存在正整数N，让nN时，恒有|Xn-a|q成立，就称数列{xn}收敛于a（极限为a），即数列{xn}为收敛。

2、求数列的极限，假设数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，既然如此那，这个数列就是收敛的；假设没有找到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,xn是不是趋向一个常数,可是有的时候，xn比较复杂,依然不会好观察。这样的是经常会用到的判别法是枯燥乏味有界既收敛。=

3、加减时,把高阶的无穷小直接舍去如= 1= += n,用1来代替乘除时,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如= n= *= sin(1= n)= 用1= n^2= 来代替=

4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系完全一样。不满足以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。= =

证明数列收敛一般是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。例如数列an=a0+1/n，随着n增大，lim(an)=a0，因为这个原因可证明数列{an}是收敛的。数列收敛的定义：假设数列{Xn}，假设存在常数a，针对任意给定的正数q（不管多小），总存在正整数N，让nN时，不等式|Xn-a|q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。详细证明各自不同的数列收敛的方式是高数至少半个学期的课程，不可能在这给一一列出来。可参考微积分II的考试教材，很具体。有界性，定义：设有数列xn,若存在M0,让一切自然数n,恒有|Xn|M成立，则称数列xn有界。定理1：假设数列{Xn}收敛，既然如此那，该数列理所当然有界。推论：无界数列理所当然发散；数列有界，未必收敛；数列发散未必无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。保号性，假设数列{Xn}收敛于a，且a0（或a0），既然如此那，存在正整数N，当nN时，都拥有Xn0（或Xn0）。

1.第一，拿到一个数项级数，我们先判断其是不是满足收敛的必要条件： 若数项级数收敛，则n→+∞时，级数的大多数情况下项收敛于零。 （该必要条件大多数情况下用于验证级数发散，即大多数情况下项不收敛于零。 )

2.若满足其必要性。 ，我们判断级数是不是为正项级数： 若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方式来验证其是不是收敛。 （注： 这三个判别法的前提一定要是正项级数。 )

3.若不是正项级数，则 我们可以判断该级数是不是为交错级数：

4.若不是交错级数，我们可以再来判断其是不是为绝对收敛的级数：

5.假设既不是交错级数又不是正项级数，则针对这样的大多数情况下级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

、级数收敛则其部分和数列极限存在，以此部分和数列有界；针对正项级数，假设部分和数列有界，按照枯燥乏味有界原理其收敛，以此级数收敛，针对其他级数部分和有界不可以保证级数收敛。



2、级数绝对收敛，表示级数是有意义的，一个函数在特定的区域可以用另一组函数求和表示，例如泰勒展开，z变换等等；还有哪些非常重要的性质，级数求和与求导可以交换，与定积分可以交换，极限与求和可交换。条件收敛的级数求和你要小心，通过改变求和顺序可以逼近任何值，故此，没有意义。



3、数列是一个一个点是离散的，数列收敛算是当n足够大时，后面的点都挤在了一起。级数是数列的和，假设n是实数而不是正整数，那“级数”就是一个连续的函数，级数收敛一般是指n为无穷大时，数列的和为一个数。



利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法还有拉贝判别法等。

针对正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，假设原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛； 假设新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，一般在判别途中使用其极限形式。

局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么超级难判断，一般的方式是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。

1、设数列{Xn}，假设存在常数a，针对任意给定的正数q（不管多小），总存在正整数N，让nN时，恒有|Xn-a|q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。

2、求数列的极限，假设数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，既然如此那，这个数列就是收敛的；假设没有找到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是不是趋向一个常数,可是有的时候，Xn比较复杂,依然不会好观察。这样的是经常会用到的判别法是枯燥乏味有界既收敛。

ε-N方式

设无穷数列a1，a2，……，an，用ε-N语言来说，该级数收敛于和S，就是任给ε＞0，存在正整数N，让当n＞N时，恒有｜数列前n项和Sn-S｜＜ε。

我们来看一个例子：

求证：数列1/1·2+1/2·3+1/3·4+……+1/n（n+1）=1

证明：前n项和Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/（n+1）

=1-1/（n+1）

于是｜Sn-1｜=1/（n+1）

解不等式1/（n+1）＜ε，得

n＞1/ε-1

明显，任给ε＞0，都存在正整数N，让当n＞N时，恒有｜Sn-S｜＜ε。

故此，题给数列收敛于（和）1

高数收敛，数学名词。

令为一个数列，且A为一个固定的实数，假设针对任意给出的,存在一个正整数N，让针对任意,有恒成立，就称数列收敛于A（极限为A），即数列为收敛数列。

定义方法与 数列收敛类似。柯西收敛准则：有关函数f(x)在点处的收敛定义。针对任意实数,存在,对任意满足,有。

收敛的定义方法很好地反映了数学分析的精神本质。

发散与收敛 针对数列和函数来说，它就只是一个极限的概念，大多数情况下来说，假设它们的通项的值在变量趋于无穷大时趋于某一个确定的值时这个数列或是函数就是收敛的 针对级数来说，它也是一个极限的概念，但不一样的是这个极限是对级数的部分和来说的，在判断一个级数是不是收敛只要按照书上的判别法就行了

　　一个函数收敛则该函数理所当然有界，而一个函数有界则不可以推出该函数收敛。要说明的是，数列有界是全域有界，而函数有界只是在去心邻域内局部有界。函数项级数收敛域解答思路，因为函数项级数的收敛域实际上就是由全部收敛点构成的，而针对每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判断。