微分方程分类，什么是常数变量法则

微分方程的分类：

1、常微分方程和偏微分方程。

含有未知函数的导数， 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量当中的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有的时候，也简称方程。

2、根据不一样的分类标准，微分方程可以分为线性或非线性，齐次或非齐次。

一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解，含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）。

1、一阶线性常微分方程

针对一阶线性常微分方程，经常会用到的方式是常数变易法：

针对方程：y+p(x)y+q(x)=0，就可以清楚的知道其通解：然后将这个通解代回到原式中，就可以得出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程

针对二阶常系数齐次常微分方程，经常会用到方式是得出其特点方程的解

针对方程：

就可以清楚的知道其通解：

其特点方程：

按照其特点方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解。

判别微分方程主要是看阶数

（1）一阶线性微分方程

（2）二阶齐次微分方程

（3）可分离变量的微分方程

（4）二阶非齐次微分方程

1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方式。它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。

2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方式，针对一阶线性非齐次微分方程，y+P(x)y=Q(x)。

常数变易法实质上是一种试探性的方式，其思想是这样：既然，（2.4）是右边等于零的那个方程（称为“齐次方程”）的解，完全就能够想像右边不等于零的那个方程（非齐次方程）的解的形式应该和（2.4）相近，于是就设想（2.28）的解是（2.29）的模样（这当中也假设了任意常数C包含在c(x)中），只要将（2.29）代入（2.28）后能求得含有任意常数的c(x)，就表达（2.29）是（2.28）的解（因为前者合适后者），加上（2.29）含有任意常数，故此，它就是（2.28）的通解。注： 假设求不出c(x)，那就说明所求的解不具有（2.29）的形式。

二阶常系数非齐次线性微分方程通解公式：y+py+qy=f(x)。这当中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y+py+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性有关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特点方程为：λ^2+pλ+q=0，然后按照特点方程根的情况对方程解答。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，因为它扎根于各自不同的各样的实质上问题中，故此，继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都拥有十分广泛的应用。比较经常会用到的解答方式是还未确定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

此问题的解答步骤请看下方具体内容：我们先解答对应齐次方程的通解：dp/dx=p因为C为常数，我们按照常数变易法令把p带进原方程有C(x)e^(x)+C'(x)e^(x)-C(x)e^(x)=x → C'(x)e^(x)=xdC(x)=x*e^(-x)dxC(x)=-[x*e^(-x)-∫e^(-x)dx]=-x*e^(-x)-e^(-x)+C1故此，得到结果p=(-x*e^(-x)-e^(-x)+C1)e^(x)→ p=-x*-1+C1e^(x)。扩展资料：常数变易法是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。拉格朗日简介约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都拥有历史性的奉献，这当中尤以数学方面的成就为突出。

一般是已知一个特解y(x),然后用常数变异法C(x)*y(x)带进原方程化简解答的。一般都是猜吧，我接触的例题都是y(x)=x等简单函数的居多。我不需要那本考试教材

一阶微分方程通解公式y=Ce^(-∫P(x)dx)。形如y+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。另外一阶微分方程中的线性指的是方程简化后的每一项有关y、y的指数为1。阶线性微分方程的解答一般采取常数变易法，通过常数变易法，可得出一阶线性微分方程的通解。通解中的C为常数，由函数的初始条件决定。

dy/dx=x(4-2y)

dy/(2-y)=2xdx //: 分离变量法

-d(2-y)/(2-y)=2xdx

-ln(2-y)=x^2+c

ln(2-y)=-x^2+c

2-y=e^(-x^2+c)

y=2-e^(-x^2+c)=2 - Ce^(-x^2)

y(x)=2 - Ce^(-x^2)

假设：y(0)=y0

既然如此那，：C=2-y0

后：y(x) = 2 - (2-y0) e^(-x^2)