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四色猜想（三大数学难题之三）世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的情况：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，让有共同边界的国家着上不一样的颜色。”这个结论有没有可能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到处理这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有可以处理。 1872年，英国当时著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界特别要注意关注的问题。世界上不少一流的数学家都纷纷参与了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，各位考生都觉得四色猜想从此也就处理了。预测2023 后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被大家否定了。后来，更多的数学家虽然对这一绞尽脑汁，但一无所获。于是，大家启动认识到，这个貌似容易的试题，实际上是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明差不多是根据肯普的想法在进行。19预测2023 ，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一部分新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国逐步递次推动到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；这之后又逐步递次推动到了50国。看来这样的逐步递次推动也还是十分缓慢。电子计算机问世以后，因为演算速度快速提升，加上人机对话(也就是机考)的产生，大大提高了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不一样的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅处理了一个历时100多年的难题，而且，有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有很多数学家依然不会满足于计算机获取的成就，他们还在找寻一种简捷明快的书面证明方式。哥德巴赫猜想（三大数学难题之二）世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只可以被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。那就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不可以证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不可以证明，这个猜想便导致了不少数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，不少数学家都持续性努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些详细的验证工作，比如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题导致了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪预测2023 代，才有人启动向它靠近。19预测2023 、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这样的变小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）启动，一步一步减少每个数里所含质数因子的个数，直到后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。现在好的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者只是两个质数的乘积。” 一般都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。在陈景润以前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况请看下方具体内容: 19预测2023 ，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366。 1938年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，这当中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”，中国的王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。后会由什么人攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？目前还没法预测。费尔马大定理及其证明（三大数学难题之一）近代数学如参天大树，已是分支很多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。这当中耀眼夺目标是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300近些年来，费尔马大定理使世界上不少著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被觉得是“20世纪重要的数学成就”。费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中有关不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的都正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不可以分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不可以分成两个数的四次方之和，大多数情况下来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，大家在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上，。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一些页端笔记，各位考生才清楚这一问题。后来，大家就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，当n大于2时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。16预测2023，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。他酷爱数学，把自己全部的休息时间都用于研究数学和物理。因为他思维敏捷，记忆力强，又具备研究数学所一定要的顽强精神，故此取得了丰硕的成果，使他跻身于17世纪大数学家之列。艰难的探索起初，数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是，谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解。因为任何一个大于2的整数，假设不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因为这个原因，只要能证明n＝4还有n是任一奇素数时，方程都没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了。n＝4的情形已经证明过，故此问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。在欧拉证明了 n＝ 3， n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样，一个一个奇素数证下去的长征便启动了。这当中，德国数学家库默尔作出了重要奉献。他用近世代数的方式，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能错误，故此，只要能对这些数进行研究。这样的数，在100以内，唯有37、59、67三个。他还详细证明了当 n＝ 37、59、67时，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的。这个问题就把费尔马大定理一下逐步递次推动到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立，大家视之为一次重要突破。1857年，他取得巴黎科学院的金质奖章。这一“长征”式的证法，虽然持续性地刷新着记录，如 1992年更进到n＝1000000，但这不等于定理被证明。看来，需另辟蹊径。 10万马克奖给谁从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费尔马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。19预测2023 ，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世时，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费尔马大定理的解答奖金。哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审核查验稿件。 10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马大定理又是小学生都可以听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连不少工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和大多数情况下市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各自不同的刊物发布的证明就有上千个之多。当时，德国有一个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到 19预测2023 初为止，共审核查验了111个“证明”，全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审核查验鉴定工作。但是证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是热爱科学的可贵精神，还在鼓励着不少人继续从事这一工作。姗姗来迟的证明经过前人的努力，证明费尔马大定理获取了不少成果，但离定理的证明，无疑还有遥远的距离。咋办，应该如何处理？来一定要要用一种新的方式，有的数学家用起了传统的办法――转化问题。大家把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化，而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上，19预测2023 ，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。：“设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式，既然如此那，当曲线F（x，y）= 0的亏格（一种与曲线相关的量）大于1时，方程F（x，y）＝0至多唯有有限组有理数”。1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一次重要突破。法尔廷斯取得了1986年的菲尔兹奖。维尔斯仍采取代数几何的方式去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来，还吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：假设谷山――志村猜想成立，既然如此那，费尔马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山――志村于1955年有关椭圆函数的一个猜想时发现的。维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣，这条美妙的定理致使他进入了数学的殿堂。大学毕业以后，他启动了幼年的幻想，决心去圆童年的梦。他非常秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶，不透半点风声。穷七年的锲而不舍，直到1993年6月23日。这天，英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里已经在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发表讲话。10点30分，在他结束报告时，他平静地宣布：“因为这个原因，我证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷，把不少只要作例行鼓掌的手定在了空中，大厅时鸦雀无声。半分钟后，雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不可以他们优雅的绅士风度，忘情地欢腾着。消息很快轰动了全世界。各自不同的大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”。大家觉得，维尔斯后证明了费尔马大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。可不久，传媒又快速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审核查验时，却被发现证明有漏洞。维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间更改论文，补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”，但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月，他重新写出一篇108页的论文，寄往美国。论文顺利通过审核查验，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。维尔斯因为这个原因取得了1995～1996年的沃尔夫数学奖。经过 300多年的持续性奋战，数学家们世代的努力，紧跟费尔马大定理作出了不少重要的发现，并促进了一部分数学分支的蓬勃发展和进步，特别是代数数论的进展。现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了处理费尔马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一仅仅会下金蛋的母鸡”。

费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁・怀尔斯（Andrew Wiles）完成，遂称费马大定理；四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助计算机完成，遂称四色定理；哥德巴赫猜想暂时还没有处理，现在好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润获取。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。