初等函数基础知识讲解，幂函数及基本初等函数的应用

初等函数基础知识介绍？

1、幂函数

大多数情况下地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .

幂函数 y = x^a (a∈Q) 的性质：

（1） 全部幂函数在 （0，+∞）上都拥有定义，还图象都经过点（1,1）.

（2） 若 a 0 , 幂函数图象都经过点 （0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；

若 a 0 , 幂函数图象只经过点 （1,1），在第一象限内递减 .

（3） 幂函数的图象多只可以同时出现在->两个象限，且不经过第四象限；

假设幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .

（4） 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在按照函数的奇偶性完成整个图象 .

2、指数函数

大多数情况下地，函数 y = a^x ( a 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量 x 叫指数，a 叫底数 .

指数函数的定义域是 R .

指数函数的主要性质：

（1） 指数函数 y = a^x ( a 0 且 a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域 （0，+∞）；

（2） 函数 y = a^x ( a 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 x 1 ) 在 R 上递减 ；

（3） 指数函数的图象经过点 （0 , 1）.

3、反函数

大多数情况下地，针对函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，

假设针对 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,

这样得到的 x 有关 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) ,

习惯上自变量经常会用到 x 来表示，而函数用 y 来表示，故此，把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) .

(1) 反函数的判断：

（1） 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数；

（2） 定义域上的枯燥乏味函数必有反函数；

（3） 周期函数不存在反函数；

（4） 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 .

(2) 反函数的性质：

（1） 函数 y = f(x) 与 函数 y = f-1(x) 互为反函数 ；

原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象有关直线 y = x 对称；

（2） 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点 （b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上；

（3） 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域；

原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域，

（4） 原函数与反函数具有对应一样的枯燥乏味性；

（5） 奇函数的反函数还是奇函数 .

(3) 求反函数的步骤：

（1） 用 y 表示 x ，即先得出 x = f-1(y) ；

（2） x , y 互换，即写出 y = f-1(x)；

（3） 确定反函数的定义域 .若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] ,而不是 y = f-1(ax + b) ,

函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 .

4、对数函数

指数函数的反函数 .

对数函数

还有一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数等。

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