泰勒公式的证明，泰勒公式证明过程的理解

泰勒公式的证明？

设pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-xo)^2+-+an(x-x0)^n(1)

让x=x0 a0=pn(x0)

对pn(x)两边同时求导 得

pn,x=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)^2+-+n(x-x0)^n-1(2)

对2 令x=xo 得a1=p,n(x0) 类推于是得到

2*1*a2= p,,n(x0)

----大多数情况下的

n(n-1)*--*3*2*1*an=pn(n)(x0)

以此得到系数公式

a0=pn(x0 ) a1=pn,(x0) a2=pn,,(x0)/2!

-- an=pn(n)x0/n!

故此，多项式pn(x)=f(x0)+f,(x0)/1!(x-x0)+-+fn(x0)/n!(x-x0)^n

故此，上面这些内容就是泰勒公式的证明过程

利用泰勒公式可以证明e^x的泰勒展开

设f(x)=e^x f,x=e^x fn(x)=e^x

当x=0时候带进泰勒公式

e^x=1+x+x^2/2!+--+x^n/n!

同理f(x)=sinx f,x=cosx f,,x.=-sinx f,,,x=-cosx

f,,,,x=sinx 数学归纳法就可以清楚的知道 fn(x)=sin(x+nπ/2)

fn(0)=sinnπ/2 f0=0 f,0=1 f,,0=0 f,,,0=-1f4(0)=0

故此，sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+-

又因为cosxdx =dsinx故此，

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+-

同理可得tanx 的泰勒

tanx=sec^2x tanx^(2)=2sec^2xtanx

tan,,,x=6sec^4x-4sec ^2x 故此，

tanx =x +1/3!x ^3+O (x ^3)

泰勒公式证明过程？

泰勒公式是一种可以用来近似函数的经常会用到方式，它的推导过程请看下方具体内容：

第一，我们令f(x)是一个函数，将它管束在[a,b]区间上，令x=a+h；

其次，我们可以将函数f(x)近似表示为一阶、二阶和三阶函数，即：

f(x)=f(a)+f(a)·h + f(a)·h2/2! + f(a)·h3/3! + ...

后，当h趋于0时，泰勒公式就得到了。

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