换底公式及其推论，换底公式怎么运用

换底公式及其推论？

换底公式是一个非常重要的公式，在不少对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)表示以a为底的b的对数。

换底公式就是

log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1）

推导过程

若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n0,且n不为1)如：log（10）（5）=log（5）（5）/log（5）（10）

则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)

按照对数的基本公式

log(a）(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M

易得

log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x

由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明请看下方具体内容：

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) -取以b为底的对数

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

换底公式怎么用？有什么例子？

不一样分母的两个成绩不可以直接相加,要换成一样的分母后才可以相加.同理底不一样的对数要相互运算,还要换成同样的底.这样就出现了换底公式。

推倒一：

设a^b=N…………（1）

则b=logaN…………（2）

把（2）代入（1）即得对数恒等式：

a^(logaN)=N…………（3）

把（3）两边取以m为底的对数得

logaN·logma=logmN

故此，

logaN=(logmN)/(logma)

推导二：

设t=log(a)b

则有a^t=b

两边取以e为底的对数

tlna=lnb

t=lnb/lna

即是：log(a)b=lnb/lna

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