设AB为正定矩阵证明A+B为正定矩阵，设ab均为n阶正定矩阵,证明a+b

设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵？

矩阵A是正定的 等价于 针对任意非零向量a,都拥有a'Aa0;

假设A、B都是正定的，既然如此那，针对任意非零向量a,都拥有a'Aa0;a'Ba0;

明显针对任意非零向量a,就有a'(A+B)a0;

故此，A+B也是正定的！

只要你搞清一个等价关系就行了，好用反正法证一下。

在实数范围内：

A为n阶的正定矩阵，则A的n个特点值都是正数 等价于 针对任一n维列向量x，都拥有x[T]Ax0,x[T]表示A的转置。

因为这个原因有，x[T]Ax0，x[T]Bx0，相加得：x[T](A+B)x0

即得A+B也为正定矩阵。

在复数范围内：

A为n阶的正定矩阵，则A的n个特点值都是正数 等价于 针对任一n维列向量x，都拥有x[H]Ax0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）。

因为这个原因有，x[H]Ax0，x[H]Bx0，相加得：x[H](A+B)x0

即得A+B也为正定矩阵。

假设A，B都是n阶正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵？

转置符号用'代替说明

第一,第1个步骤(a+b)’=a‘+b’=a+b故此，a+b是对称矩阵

其次，任取x≠0按照正定定义x‘ax0.x‘bx0.

于是x’（a+b）x=x‘ax+x‘bx0

故此，a+b是正定阵

以上解答是教科书上的，百分之100正确

主要你要搞了解正定的定义

实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同？

证明：假设实对称阵A是正定阵，

则A的特点值{a1,a2,..,an}都是正的，

而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)，

即有正交阵P让

A=P'diag(a1,a2,..,an)P

=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P

记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则

A=Q'Q，即A与单位阵合同

反之若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，让

设A=S'S。则对任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)0

∴A是正定的

aa为正定矩阵的证明？

A O B O就不是正定的了，但 A O O B是正定的，可以用定义去证明

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