韩信点兵问题公式或口诀是什么，韩信点兵问题的优解法

韩信点兵问题公式或口诀是什么？

展开都

你好。

【韩信暗点兵】歌诀：

三人同行七十夕，五数梅花二十一，七子团圆正半月，去百零五便得知。

韩信暗点兵，韩信不是一、二、三、点数，而是，让队伍列队：

第一三人一列，记住多余的人员数量；

再让五人一列，记住多余的人员数量；

再做七人一列，记住多余的人员数量。

将上面三次多余的人员数量相加。他就清楚一共有多少人。

计算：

三列队的余数，例如说，余数是二。则：2*70=140 （余数不可能多余二）

五队列的余数，例如说，余数是四，则：4*21=84 （余数不可能多余四）

七队列的余数，例如说，余数是六，则：6*15=90 （余数不可能多余六）

上列结果相加：140+84+90=314

假设说，一估计，没有300多人，就：314—105=209

假设一看，还没有200多人，再减去105，则：209-105=104

好。就是104人。

注：这里面除了上面的计算以外，还需要估算一下。大概数再进行比较计算。

物不了解数

韩信点兵问题早出自《孙子算经》。《孙子算经》是中国古代很重要的数学著作，因数学家 孙子 奉献大而得名（有关孙子的资料不可考），大概成书于东晋十六国时期，现存早为北宋刻本，全书分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要讲述 度量规定 和 算筹运算 还有根据 它们的 数学应为问题，韩信点兵为 《卷下》第二十六题 ”物不了解数“，原文请看下方具体内容：

今有物，不了解其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？

答曰：二十三。

术曰：“三、三数之，剩二”，置一百四十；“五、五数之，剩三”，置六十三；“七、七数之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之，剩一，则置七十；五，五数之，剩一，则置二十一；七、七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

试题翻译成现今的数学语言请看下方具体内容：

有一个正整数 x，知 x 除以 3 余 2、除以 5 余数 3、除以 7 余数 2， 求 x 的小值。

这等价于解答《初等数论》中的 一次同余方程组：

《孙子算经》给出的解法请看下方具体内容：

寻中小正整数 x₁ ， 满足： x₁ 被 5 和 7 整除 还 除以 3 余 1，即，5|x₁, 7|x₁ 还 x₁ mod 3 = 1 （2）

x₁ 被 5 和 7 整除，就说明了 被 5×7 = 35 整除，即， 35 | x₁，于是，令 x₁ = 35n（n ≥ 1）：

当 n = 1 时 x₁ = 35，35 mod 3 = 2 没有满足 （2） 舍弃；

当 n = 2 时 x₁ = 70，70 mod 3 = 1 刚好满足 （2），Bingo~~~。

因为 x₁ ≡ 1 (mod 3)，故 2x₁ ≡ 2 (mod 3)，于是 得到 2x₁ = 140，它满足：除以 3 余 2 还 被 5 和 7 整除。

同理，

求得满足：可被 3 和 7 整除 还 除以 5 余 1 的小正整数 x₂ = 21，以此得到，同样可被 3 和 7 整除 但 除以 5 余 3 的 3x₂ = 63；

求得满足：可被 3 和 5 整除 还 除以 7 余 1 的小正整数 x₃ = 15，以此得到，同样可被 3 和 5 整除 但 除以 7 余 2 的 2x₃ = 30；

将上面的 结果 相加 得到： x’ = 2x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 140 + 63 + 30 = 233，则 容易验证 x‘ 是 同余方程组 (1) 的一个解 ，但是， x’ 不是 小整数解 x。比较容易可以发现 x' 减去 一个 同时 被 3、5 和 7 整除 还 不大于 x' 的 整数，结果仍然 是 (1) 的解，因为，同时 3、5 和 7 整除，就 说明了 被 3×5×7 = 105 整除，于是得出：

x = x' (mod 105)

进一步，有请看下方具体内容算法：

令 x = x'；

假设 x 105（原文为 106 = x₁ + x₂ + x₃ ） 则 令 x = x - 105，不然 x 为 后答案；

详细过程请看下方具体内容：

x = x' = 233

[x = 233 105]： x = x - 105 = 233 - 105 = 128

[x = 128 105]： x = x - 105 = 128 - 105 = 23

[ x = 23 105]：OK！

这样就得到了后答案：x = 23。

将整个解答过程写成算式就是：

x = 2×70 + 3×21 + 2×15 - 2×(3×5×7) = 23

为了方便记忆，发明 珠算 和 卷尺 的明朝数学家 程大位，在其所著的 《算法统宗》 中，将 《孙子算经》的算法编成 "孙子歌诀" 请看下方具体内容：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

注：正半月就是十五天，除是除去（减去）之意。

韩信点兵

韩信点兵 泛指 ”物不了解数“ 这种类型 一次同余方程组 解答问题。南宋著名数学家 秦九韶 对 《孙子算经》中的算法 进行了深入研究，故将他扩展为『大衍总数术』，彻底处理了 韩信点兵问题，那就是 《初等数论》中的 中国剩下定理（也称 孙子定理）：

设 m₁, m₂, ..., m_n 是 两两互素 的 正整数，既然如此那，针对任意整数 a₁, a₂, ..., a_n 组成的 一次同余方程组：

在同余意义下，必有唯一解：

这当中：

验证：易知，

再结合 (3'')，由 (3') 可以推出：

这个问题就说明 (3') 的确 是 (3) 的解。

注：这里只是给出了定理的验证，并没有严格证明 同余意义下的唯一性。证明 中国剩下定理，有各种方式各位考生有兴趣可以参考《初等数论》。

秦九韶 分又称 M、Mᵢ 、 Mᵢ⁻¹ 为 衍母、衍数、乘率，这里的重点是求 乘率 Mᵢ⁻¹ ，方式请看下方具体内容：

令， r 是 Mᵢ 除以 mᵢ 的余数，即，

于是：

进一步：

然后，让 mᵢ 和 r 辗转相除，得到：

到 r_k = 1 终止。假设 向下进行一步就是：

前面另外， (4) ，整个过程 就是 欧几里得辗转相除法，因为这个原因 r_k 为 Mᵢ 和 mᵢ 的 大公约数，而 m₁, m₂, ..., m_n 是 两两互素，于是有： r_k = (Mᵢ, mᵢ) = 1 ，这样就证明了 后 总可以 终止于 1 的正确性。

马上，定义两个数列：

有：

即，

假设，

则：

这样归纳的证明了 (7) 成立。

当 k 为偶数时 有：

于是：

比较 (5) 得到：

当 k 为奇数时，则 k + 1 是偶数，这个问题就要算到 (6) ，对 (6) 稍作变形：

于是，令，

并重新令：

则有：

这样我们就将 辗转相除 又延长了一步 到 k + 1，这时 k + 1 是偶数，则同理上面 情况 可得到：

因针对这个问题算法后总会终止于 1，故此， 被 秦九韶 称为『大衍求一术』，前缀 “大衍” 来自于《易经 · 系辞》：“大衍之数五十，... ...”。

中国剩下定理 要求 m₁, m₂, ..., m_n 一定要两两 互素，针对那些 没有满足这个条件的 一次同余方程组 可以转换为 和 其 同解 的 满足这个条件的 一次同余方程组。下面举例说明：

有一筐鸭蛋，1个1个数，正好数完；2个2个数，还剩1个；3个3个数，正好数完；4个4个数，还剩1个；5个5个数，还剩1个；6个6个数，还剩3个；7个7个数，正好数完；8个8个数，还剩1个；9个9个数，正好数完。请问：框里少有多少个鸭蛋？

根据试题所述，列同余方程组请看下方具体内容：

明显 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 依然不会两两互素，因为这个原因需简化：

一个数字肯定被 1 整除，因为这个原因 （1） 没有意义，删除； 一个数字被 9 整除，肯定会被 3 整除，因为这个原因 保留 （9） 删除 （3）；一个数字 被 8 除余 1，则可以表示为 8x + 1，进一步有 2(4x) + 1，4(2x) + 1，于是 x 一定 可以被 2 和 4 整除，因为这个原因 保留 （8） 删除 （2） 和 （4）；现在已经保证了 被 2 除 余 1，可表示为 2x + 1，也保持了 被 3 整除，于是有 3(2x + 1) = 6x + 1，这说明 现在已经保持了 被 6 除 余 3，因为这个原因 （6） 可以被删除；后剩下 （5） 和 （7） 保留。得到：

则 (8') 和 (8) 等价。因为 5,7,9,8 两两互素，满足 中国剩下定理 要求，于是解：

◆M = m₁ m₂ m₃ m₄ = 5 × 7 × 8 × 9 = 2520

◆M₁ = 7 × 8 × 9 = 504

M₁ = q m₁ + r, 504 = 100 × 5 + 4 , c₀ = 1;

m₁ = q₁ r + r₁, 5 = 1 × 4 + 1, c₁ = q₁ = 1; (r₁ = 1，下标 1 是奇数，需再算一步 )

r = q₂ r₁ + r₂, 4 = 3 × 1 + 1, c₂ = q₂c₁ + c₀ = 3 × 1 + 1 = 4；(得到结果)

M₁⁻¹ = 4， M₁⁻¹ M₁a₁ = 4 × 504 × 1 = 2023；

◆ 因为 a₂ = 0 故此， M₂⁻¹ M₂a₂ = 0；

◆M₃ =5 × 7 × 9 = 315

M₃ = q m₃ + r, 315 = 39 × 8 + 3 , c₀ = 1;

m₃ = q₁ r + r₁, 8 = 2 × 3 + 2, c₁ = q₁ = 2;

r = q₂ r₁ + r₂, 3 = 1 × 2 + 1, c₂ = q₂c₁ + c₀ = 1 × 2 + 1 = 3；(r₂ = 1，下标 2 是偶数，得到结果)

M₂⁻¹ = 3， M₂⁻¹ M₂a₂ = 3 × 315 × 1 = 945；

◆因为 a₄ = 0 故此， M₄⁻¹ M₄a₄ = 0；

得到：

x = M₁⁻¹ M₁a₁ + M₂⁻¹ M₂a₂ + M₄⁻¹ M₄a₄ = 2023 + 0 + 945 + 0 = 2961

x M, x = x - M = 2961 - 2520 = 441

后答案：框里少有 441 个鸭蛋。

后，需说明的是：

数学大神欧拉和高斯 针对 大多数情况下一次同余式进行了具体研究，独立的得到了 中国剩下定理，后来证实 与 秦九韶『大衍求一术』一样，于是才命名该定理为：中国剩下定理。

中国剩下定理，在《抽象代数》中还有另外的形式，不过这个问题就扯远了，就此打住。

（因为自己数学水平有限，出错在所难免，欢迎广大老师批评指正！）

主管护师备考资料及辅导课程

主管护师培训班-名师辅导课程