数学内积空间是什么，数字图像处理中什么叫正交变换和酉变换的区别

数学内积空间是什么？

内积空间： 在数学里面是增添了一个额外的结构的向量空间。

这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的的视角和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。内积空间有的时候，也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化后面就可以得到一个希尔伯特空间。在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词目前已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

数字图像处理中什么叫正交变换和酉变换？

将图形从空间域变成其它域的数学变换，这样的变换一定要是可逆的，称之为正交变换。正交变换是酉变换的一个特例。

酉矩阵有哪些用？

酉矩阵

n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。明显酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。 酉矩阵又称为幺正矩阵。

准希尔伯特空间是范数空间吗？

在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不可以再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。除开这点希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上全部的柯西列等价于收敛列，以此微积分中的大多数概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为根据任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表达方法，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的重点性概念之一。

在一个复向量空间H上的给定的内积 可按请看下方具体内容的方法导出一个范数（norm）：

此空间称为是一个希尔伯特空间，假设其针对这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是，反之未必。

任何有限维内积空间（如欧几里德空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实质上应用的视角来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，比如

*酉群（unitary group）的表示论。

*平才可以积的随即过程理论。

*偏微分方程的希尔伯特空间理论，非常是狄利克雷问题。

*函数的谱分析及小波理论。

*量子力学的数学描述。

内积能有效的帮大家从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在全部的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质好，也接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目标是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都拥有一族标准正交基，而且，每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。

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