求极限的公式总结，数列的极限公式总结

求极限的公式总结？

极限是微积分中的重要概念，也是不少数学问题的基础。下面这些内容就是哪些常见的极限公式：1. 常数函数极限：lim k = k，这当中 k 为常数。

2. 变量函数极限：lim f(x) = L，这当中 f(x) 是一个变量函数。假设存在 x→a 时的唯一极限 L，既然如此那，称 f(x) 在 x=a 处存在极限，记作 lim f(x) = L。

3. 加减法规则：假设 lim f(x) = L 和 lim g(x) = M，既然如此那，有 lim (f(x) ± g(x)) = L ± M。

4. 乘法规则：假设 lim f(x) = L 和 lim g(x) = M，既然如此那，有 lim (f(x) × g(x)) = L × M。

5. 除法规则：假设 lim f(x) = L 和 lim g(x) = M（这当中 M 不等于 0），既然如此那，有 lim (f(x) / g(x)) = L / M。

6. 平方根的极限：假设 lim x→a √(x) 存在，既然如此那， lim x→a √(x) = √(a)。

7. 正弦函数的极限：假设 lim x→0 (sin x)/x 存在，既然如此那， lim x→0 (sin x)/x = 1。

以上公式只是极限的基础，其实极限还有不少应用和扩展。需要大家特别注意的是，在使用极限公式时，需依据详细的问题来选择不一样的公式。

⁤⁤　　1.lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x);⁤⁤

⁤⁤　　2.lim(f(x)−g(x))=limf(x)−limg(x);⁤⁤

　　、

⁤⁤　　3、lim(f(x)×g(x))=limf(x)×limg(x);⁤⁤

　　、

⁤⁤　　4、lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)⁤⁤

)不等于0;

　　、。

⁤⁤　　5、lim(f(x))∧n=(limf(x))∧n。⁤⁤

　　注意:limf(x)limg(x)都存在时才成立。

　　lim是极限是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化途中，从总结历次经验来说渐渐稳定的这样一种变化趋势还有所趋向的值(极限值)。极限可分为数列极限和函数极限。

　　假设

⁤⁤limn→∞an=alimn→∞bn=b,⁤⁤

既然如此那，

⁤⁤　　limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=a±b⁤⁤

⁤⁤　　limn→∞an⋅bn=limn→∞an⋅limn→∞bn=a⋅b⁤⁤

⁤⁤　　limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn=ab(b≠0)⁤⁤

⁤⁤　　limn→+∞C⋅an=C⋅limn→+∞an=C⋅a⁤⁤

极限公式：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

数列的极限公式？

洛必达法则:若极限为f(x)/g(x)型，当x-〉a时，f(x)即g(x)同时趋向于0或同时趋向于无穷大时（即0比0型或无穷比无穷型），原极限f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)，这当中f'(x)及g'(x)为f'(x)及g'(x)有关x的导数。

比如：lim(x-0) x/sinx

因为当x趋向于0时x及sinx均趋向于0，故可用洛必达法则，即lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) x'/(sinx)'=lim(x-0) 1/cosx

因为当x趋向于0时cosx趋向于1，故此，lim(x-0) x/sinx=lim(x-0) 1/cosx=1

极限的指数运算法则？

运算法则是：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。假设存在实数a，针对任意正数ε（不论其多么小），都∃N0，使不等式|xn-a|ε在n∈(N,+∞)上恒成立，既然如此那，就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

总结求极限的方式？

第一呢 我先说一下这是一篇网络在线广为流传的文章数分考试中求极限的方式大多数情况下都不会在超过文章的范围了======================================我总结的16种求极限的方式（你还能找出其他的？）第一说下我的感觉， 假设高等数学是棵树木得话，既然如此那， 极限就是他的根， 函数就是他的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只可以枯萎， 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节实质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，故此，也具有函数的性质。函数的性质表目前各个方面

第一 对 极限的总结 请看下方具体内容

极限的保号性非常的重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限完全一样

1 极限分为 大多数情况下极限 ， 还有一个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是大多数情况下极限的一种）

2处理极限的方式请看下方具体内容：（我能列出来的都列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）

1 等价无穷小的转化， （只可以在乘除时候使用，但是，不是说一定在加减时候不可以用 但是，前提是一定要证明拆分后极限仍然存在） e的X次方-1 或者 （1 x）的a次方-1等价于Ax 等等 。

都熟记

（x趋近无穷时还原成无穷小）

2落笔他 法则 （大试题有的时候，候会有暗示 要你使用这个方式）

第一他的使用有严格的使用前提！！！！！！

一定要是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（故此，面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况罢了是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

一定要是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假设告诉你g（x）, 没告诉你是不是可导， 直接用无疑于找死！！）

一定要是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还需要注意分母不可以为0

落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）故此， 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项后面 这样就可以变成1中的形式了

3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

针对（指数幂数）方程 方式主要是取指数还取对数的方式， 这样就可以把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 那就是为什么唯有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷时 LNX趋近于0）

3泰勒公式 (含有e的x次方时 ，特别是含有正余旋 的加减时要 特变注意 ！！！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1 x展开

对试题简化有很好帮

4面对无穷大比上无穷大形式的处理办法

取大头原则 大项除分子分母！！！！！！！！！！！

看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 特别是正余旋的复杂函数与其他函数相乘时，一定要注意这个方式。

面对很复杂的函数 可能只清楚它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加 （来消掉中间的相当大一部分） （对付的还是数列极限）

可以使用还未确定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方法（对付数列极限） 比如清楚Xn与Xn 1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn 1的极限时一样的 ，应为极限去除有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。

这两个非常的重要 ！！！！！对第一个来说是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就假设x趋近无穷大 无穷小都拥有对有对应的形式

（地2个其实是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 时要特别注意可能是用地2 个重要极限）

11 还有一个方式 ，很方便的方式

就是当趋近于无穷大时候

不一样函数趋近于无穷的速度是明显不同的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也可以看出速率的快慢） !!!!!!

当x趋近无穷时 他们的比值的极限一眼就可以看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道试题来说就只换元， 但是，换元会夹杂这当中

13假设要算， 四则运算法则也算一种方式 ，当然也是夹杂这当中的

14还有对付数列极限的一种方式，

就是当你面对试题实在是没有办法 走投无路时可以考虑 转化为定积分。

大多数情况下是从0到1的形式 。

15枯燥乏味有界的性质

对付递推数列时候使用 证明枯燥乏味性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

（大多数情况下都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有特别注意）

（当试题中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0时 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）。

求极限的各自不同的类型及方式？

求极限是数学中的一个重要概念，常见类型涵盖函数的单侧极限、左右极限、无穷极限和重要极限等。

求极限主要有分解因式法、同分母化简法、代换法、夹逼准则等方式，这当中代换法是经常会用到的方式，马上就要一个复杂的极限运算转换成简单的代数运算。除了基本技巧，还要有熟练掌握并熟悉函数的性质和极限的概念，加强练习和累积经验。

1 极限有数列极限、函数极限、无穷小与无穷大等各种类型。2 求数列极限时可以使用夹逼准则、枯燥乏味有界准则、Stolz定理等方式；求函数极限时可以使用洛必达法则、泰勒公式、极限换元法等方式；求无穷小与无穷大时可以使用函数等价、等价无穷小替换、极限的四则运算等方式。3 在实质上应用中，极限理论在数学、物理、化学、工程等领域都拥有广泛的应用，例如在微积分、微分方程、可能性论等方面都拥有重要作用。因为这个原因，深入理解极限的各自不同的类型及方式针对提升数学能力、处理实质上问题都很有很大帮助。

1 极限可以分为一元函数极限和多元函数极限两种类型。2 一元函数极限经常会用到的方式有夹逼定理、枯燥乏味有界原理、洛必达法则等；多元函数极限经常会用到的方式有二重极限、累次极限、极限存在准则等。3 除开这点还有一部分特殊类型的极限，如无穷小量、无穷非常多、级数极限等。针对这些特殊类型的极限，需使用对应的方式进行解答。总而言之，在解答极限问题时，需按照详细情况选择适合的方式，同时需要大家特别注意对极限的定义和极限存在的条件进行认真分析。

如何用高中知识证明极限？

极限的计算经常会用到方式：

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、枯燥乏味有界收敛定理、利用连续性求极限等方式。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是经常会用到方式，在基础阶段的学习中是重点，学员应该已经很熟悉，进入强化学习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化学习阶段学员会碰见一部分较为复杂的极限计算，这个时候运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一部分常见的麦克劳林公式时常可以达到只需要花一半的时间就能够完成一倍的效果之效; 夹逼定理、利用定积分定义经常用来计算某些和式的极限，假设大的分母和小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，假设大的分母和小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;枯燥乏味有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算考点归纳点涵盖：

1、连续、间断点还有间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，全部通过导数定义直接计算或检验 存在的定义是极限 存在；

3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；

4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度很大，经常容易考到查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方式。

重要题型及指导建议

1、求数列极限

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

★抽象数列求极限

这个类型的题目大多数情况下以选择题的形式产生， 因为这个原因可以通过举反例来排除。 除开这点也可根据定义、基本性质及运算法则直接验证。

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