如何求取函数的连续性和间断点—波波教你学，函数有界可以推出函数连续吗

如何求取函数的连续性和间断点—波波教你学高数？

1.明确函数连续性的定义。

主要明确函数在某点（X=X0）的连续性。

2.明确函数间断点的定义。

主要明确函数在某点（X=X0）的取值问题。

3.了解函数间断点分分类。

第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）

第二类间断点（无穷间断点、震荡间断点）

4.总结函数在某点（X0）连续的等价形式和间断点的类型。

5.学习例题，反复练习。

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函数有界能推出连续吗？

不可以 反例子： 函数f(x)在x为有理数时为1 无理数时为0 f(x)有界但不连续

有界函数未必是连续函数。如y=1,x是奇数;y=2,x是偶数，y=0,x的其他情况。这个函数有界(有界的定义，存在M使M大于y的任何函数值)，而明显不连续。例子不少的。不过连续函数在其定义域内总是有界的。

函数连续性的定义是什么?如何判断一个函数是连续的？

1.函数连续性的定义:

设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。

若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续一定要同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x- x0时，limf(x)存在；

（3）x- x0时，limf(x)=f(x0)。

则初等函数在其定义域内是连续的。

连续函数一定有界吗？

连续函数未必有界，有界是指在定义区间内若函数f(x)满足：

|f(x)|≤M

这当中M为某一非负常数，则称函数f(x)在该定义区间内有界，针对连续函数来说，若其定义区间为无穷区间，则该函数可能无界，如二次函数y＝x^2的定义域为R，它为连续函数，在定义域内无界

连续函数未必有界

如：y=x连续函数但无界

y=1/x在（0，1]上连续但是，无界

大多数情况下是连续函数在闭区间上必有界

连续函数的定义是什么？

假设函数y＝f（x）在x0处附近有定义，还在x0的左右极限都等于f(x0)，既然如此那，我们称函数f(x)在点x0处连续。

可导函数一定是连续函数。

折线可以是连续函数吗？

你说的是连续函数但是，在R上不可导 ，故此，折线函数可以是连续函数但未必在其定义域可导

什么是直线上的连续函数？

连续函数未必有大值或小值。例如函数y=1是连续函数但是，没有大值和小值。因为这个原因常函数是不是连续函数跟是否有大小值无关。

函数在每一点处都可导,还 左导数=右导数,则称该函数为连续函数，通俗的讲连续函数的图像没有间断，因为这个原因常函数是连续函数。

连续函数的历史？

一、函数的起源（出现）

十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需发展航海和军火工业。为了发展航海事业，还要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需清楚如何使炮弹打的准确正确等问题， 这个问题就促使了大家对各自不同的“运动”的研究，对各自不同的运动中的数量关系进行研究，这个问题就为函数概念的出现提供了客观实质上需的基础。

十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了剖析解读几何学，以此打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这这个时间段，随着数学内容的丰富，各自不同的详细的函数已非常多产生，但函数还是没有被给出一个大多数情况下的定义。牛顿于 1665年启动研究微积分后面，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。

1673年，莱布尼兹在一篇手稿里首次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变化而变化的量。（定义1）这基本上算是函数的第一个“定义”。比如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。明显，“函数”这个词初的含义是很的模糊和不准确的。

大家是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论

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