一元二次方程公式法，公式法解一元二次方程的公式格式怎么写

一、从配方式启动

解方程ax2+bx+c=0 (a≠0 ，且a、b、c为常数)

承接上一节课的后一个练习，

分三种情况讨论：

(1) 当b2-4ac0时，方程有2个不相等的实数根(2个解).

(2) 当b2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根(1个解).

(3) 当b2-4ac0时，方程无实数根(无解).

给出有关名称，根的判别式△=b2-4ac，求根公式.

二、典例

1. 不解方程，判别方程实根的情况.

下方罗列出来的方程中，没有实数根的是（ D）

A．x2-2x=0 B．x2-2x-1=0

C．x2-2x+1=0 D．x2-2x+2=0

〖拓展〗

有关x的一元二次方程x2-(k-2)x-2k=0的根的情况是（B）

A．有两个不相等的实数根

B．总有实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

剖析解读：△=b2-4ac=[-(k-2)]2-4×1×(-2k)= k2+4k+4=(k+2)20

当(k+2)20时，方程有两个不相等的实数根；

当(k+2)2=0时，方程有两个相等的实数根.

2. 根的判别式的应用.

若有关x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（B ）

A．k-1 B．k-1且k≠0

C．k-1 D．k-1且k≠0

剖析解读：一元二次方程→k≠0

有两个不相等的实数根→△=b2-4ac=(-2)2-4×k×(-1)=4+4k0

〖拓展〗

若有关x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数根，则实数a的取值范围是______.

思考：需a≠0吗？

【答案】a-1.

三、用公式法解一元二次方程(示例)

例题一. 解方程：x2-4x =0.

解：a=1，b=-4，c =0.………………注意符号

△=b2-4ac=(-4)2-4×1×0=160

方程有两个不相等的实数根.………………得出根的情况

………………慢一点，反映代入过程

∴x1=0，x2=4.

例题二. 解方程：x2+17=8x.

解：化简得，x2-8x+17=0.

a=1，b=-8，c =17.

△=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-40

方程无实数根.………………得出根的情况

步骤：1.化方程为大多数情况下式：ax?+bx+c=0 （a≠0）

2.确定判别式，计算Δ。Δ=b?-4ac；3.若Δ0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=[-b±√Δ]]/2a。若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根：x1=x2=-b/2a；若Δ0，该方程在实数域内无实数根，但是在虚数域内解为x=-b±√（b平方-4ac）/2a。

先得出根的判别式的值，再将一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入一元二次方程的求根公式，就可以得出一元二次方程的解。

一元二次方程求根公式：当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）

一元二次方程有4种解法，即直接开平方式、配方式、公式法、因式分解法。公式法可以解任何一元二次方程。因式分解法，其实就是常说的十字相乘法，一定要要把全部的项移到等号左边，并且等号左边可以分解因式，使等号右边化为0。配方式比较简单：第一将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方法，再开方就得解了。除开这个因素不说，还有图像解法和计算机法。图像解法利用二次函数和根域问题粗略解答。

1、直接开平方式：

例．解方程(3x+1)^2；=7 (3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7

∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3

2、配方式：

例．用配方式解方程 3x-4x-2=0

将常数项移到方程右边 3x-4x=2

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x-﹙4/3﹚x+( 4/6)=2 +(4/6 )

配方：(x-4/6)= 2 +(4/6 )

直接开平方得：x-4/6=± √[2 +(4/6 ) ]

∴x= 4/6± √[2 +(4/6 ) ]

3．公式法：

例.用公式法解方程 2x-8x=-5

将方程化为大多数情况下形式：2x-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5 b-4ac=(-8)-4×2×5=64-40=240

∴x=[(-b±√(b-4ac)]/(2a)

4．因式分解法：

例．用因式分解法解下方罗列出来的方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8

化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解.

1.开平方式

形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方式求得解为X=m±√n。

（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

（2）降次的本质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

（3）方式是按照平方根的意义开平方。

2.配方式

用配方式解一元二次方程的步骤：

（1）把原方程化为大多数情况下形式；

（2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）把左边配成一个完全平方法，右边化为一个常数；

（5）进一步通过直接开平方式得出方程的解，假设右边是非负数，则方程有两个实根；假设右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

3.因式分解法

是利用因式分解的手段，得出方程的解的方式是解一元二次方程经常会用到的方式。

分解因式法的步骤：

（1）移项,将方程右边化为(0)；

（2）再把左边运用因式分解法化为两个(一)次因式的积；

（3）分别令每个因式等于零,得到(一元一次方程组)；

（4）分别解这两个(一元一次方程),得到方程的解。

4.求根公式法

用求根公式法解一元二次方程的大多数情况下步骤为：

（1）把方程化成大多数情况下形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值(注意符号)；

（2）得出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.

若△0原方程无实根；若△0，X=((-b)±√(△))/(2a)

5.图像法

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像(为一条抛物线)与x轴交点的x坐标。

当△0时，则该函数与x轴相交(有两个交点)。

当△=0时，则该函数与x轴相切(有且仅仅只有一个交点)。

当△0时，则该函数与轴x相离(没有交点)。

一元二次方程有四种解法：直接开平方式；配方式；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方式为通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方式

形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采取直接开平方式解一元二次方程。假设方程化成x²=p的形式，既然如此那，可得x=±√p。假设方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，既然如此那，nx+m=±√p，进一步得出方程的根。

2、配方式：用配方式解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方法。

3、公式法：把一元二次方程化成大多数情况下形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

1、公式法。在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△=b²-4ac＞0时，方程有两个解，按照求根公式x=（-b±√（b²-4ac））/2a即刻得出结果；△=b²-4ac=0时，方程唯有一个解x=-b/2a；△=b²-4ac＜0时，方程无解。

　　2、配方式。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。

　　3、因式分解法。通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。