对数运算公式及推导，lg数学常用对数公式

对数公式推导：log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)，loga(b)×logb(a)=1，loge(x)=ln(x)，lg(x)=log10(x)。

对数公式是数学中的一种常见公式，假设a^x=N(a0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫做对数的底，N叫做真数。一般以10为底的对数叫做经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

性质

（1）loga(1)=0；

（2）loga(a)=1；

（3）负数与零无对数.

2对数恒等式

a^logaN=N (a0 ，a≠1）

3运算法则

（1）loga(MN)=logaM+logaN；

（2）loga(M/N)=logaM－logaN；

（3）对logaM中M的n次方有=nlogaM；

假设a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若a^n=b(a0且a≠1) 则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导：

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

4、与（2）类似处理

M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导请看下方具体内容： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

4换底公式

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………（1）

对（1）取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..（2）

对（1）取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………（3）

（3）/（2），得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

5推导公式

log(1/a)(1/b)=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

6求导数

(xlogax)'=logax+lna

这当中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x

对数函数用公式y=logaX计算。大多数情况下来说，对数函数指的是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是6类基本初等函数之一。

对数函数中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。

对数函数运算法则公式是假设a^x=N(a0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，这当中a要写于log右下。这当中a叫做对数的底，N叫做真数。一般以10为底的对数叫做经常会用到对数，以e为底的对数称为自然对数。

大多数情况下地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。这当中对数的定义：

假设ax =N（a0，且a≠1），既然如此那，数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，这当中a叫做对数的底数，N叫做真数。

大多数情况下地，函数y=logaX（a0，且a≠1）叫做对数函数，其实就是常说的说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

这当中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数。

计算对数我们利用对数公式就可以，根据对数函数y=log(a)X，已知常数a的大小，再代入未知数X，既可以得出Y的值。这里的Y就是X以a为底的时候对数。

　　对数公式是数学公式中的一种，a^Y=X(a0,且a≠1)，则Y=log(a)X。在这个公式中，a叫做底数，X叫做真数，而Y叫做以a为底的X的对数。当a=10时，其对数叫做经常会用到对数；当对数公式以e为底时，这时的对数就叫做自然对数。