n个正整数的平方和公式，正整数1到n的平方和立方和公式是怎么推导的

时间:2023-03-03来源:华宇考试网作者:注册会计师资料初级会计免费资料下载

n个正整数的平方和公式？

n个数的平方和公式：(n+1)³-1=3(1²+2²+...+n²)+3n(n+1)/2+n，平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数其实就是常说的正方形数的级数。

平方和定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。立方体边长分别是n、n+1、n+1/2，其体积为n(n+1)(n+1/2)，因为这个立方体是由三个同样的物体组合起来，则这当中的每一个为n(n+1)(n+1/2)/3，即1方+2方+……+n方=n(n+1)(n+1/2)/3。

n个自然数的平方和公式为：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用数学归纳法：

n=1时，1=1*2*3/6=1成立；

假设n=k时也成立，既然如此那，k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²；

既然如此那，n=k+1；

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)；

故此，1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

＝（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6；

即n=k+1时，也成立；

故此，：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

正整数1到N的平方和，立方和公式是咋推？

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1， n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1， ...... 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1, 把这n个等式两端分别相加,得： (n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n 因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　代人上式整理后得： 1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

平方和Sn=n(n+1)(2n+1)/6，推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,.......2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式整理后得：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。立方和Sn=[n(n+1)/2]^2，推导：(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，......2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n因为1+2+3+...+n=(n+1)n/2,1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　代人上式整理后得：1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

平方和公式怎么计算？

平方和公式：

（a+b）²=a²+2ab+b²

（a-b）²=a²-2ab+b²

平方差公式：

a²-b²=（a+b）（a-b）

平方和，就是2个或多个数的平方相加，一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方) 本系列丛书搜集的是世界各国各历史时期的初等数学经典。大多兼有数学教育史史料研究及补上来现目前初等数学考试教材不系统、缺深度、少背景讲解等缺陷之功能。冯克勤所著的《平方和》为这当中一册，共分四章及附录：本书讲解相关代数数论的几段很不简单的数学史，还有数学思想和解题方法和技巧。

公式：

平方和公式：

1、

（各数的平方之和）

2、a²+b²=(a+b)²-2ab =(a-b)²+2ab（完全平方公式的变形）

整数平方和公式推导过程？

平方数列求和公式推导过程是通过(n+1)³-n³=3n²+3n+1，Sn=1²+2²+。。+n²，Tn=1+2+。+n=n(n+1)/2，得：∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1，(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n，因为这个原因Sn=n(n+1)(2n+1)/6。

n项平方和公式推导？

n项平方和公式：∑n²=n(n+1)(2n+1)/6，平方和定义为2个或多个数的平方相加。一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多。平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数其实就是常说的正方形数的级数。

利用的立方差公式来推导a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

前n个数的平方和通项公式？

前n项平方和公式是n（n+1）（2n+1）/6。前n项平方和公式是一个比较经常会用到公式，用于求连续自然数的平方和，其和可称为四角锥数或金字塔数，其实就是常说的正方形数的级数。平方和是一个数学术语是指2个或多个数的平方相加，一般是一部分正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可是无限多个。另外前n项平方和公式也是冯哈伯公式的一个特例。