函数方程思想的起源，函数思想在方程中的应用

函数方程思想的起源？

一）

?马克思曾经觉得,函数概念来源自于代数学中不定方程的研究．因为罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,故此，函数概念至少在那时已经萌芽．

?自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,大家在思索：既然，地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,既然如此那，下降的物体何不出现偏斜而还需要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,还有炮弹速度针对高度和射程的影响等问题,不仅是科学家的力图处理的问题,也是军事家要解答决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源．

（二）

?早在函数概念暂时还没有明确提出之前,数学家已经接触并研究了很多详细的函数,例如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的剖析解读几何中,已经注意到了一个变量针对另一个变量的依赖关系,但因为当时暂时还没有意识到需提炼大多数情况下的函数概念,因为这个原因直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时,数学家还没有明确函数的大多数情况下意义．

?1673年,莱布尼兹第一次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的相关几何量．由此可以看得出来,函数一词初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,基本上也就是在这个时候,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方法构成的量叫“x的函数”,表示为yx.

?当时,因为连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,故此，后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为剖析解读函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．

?18世纪中叶,因为研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念时,达朗贝尔说是指“任意的剖析解读式”,而欧拉则觉得是“任意画出的一条曲线”．目前看来这都是函数的表达方法,是函数概念的外延．

（三）

?函数概念缺少科学的定义,导致了理论与实践的尖锐矛盾．比如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但因为没有函数的科学定义,就非常大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年,高斯启动把注意力转向物理学

方程基本上算是代数思想的起源。面对一个未知的东西（这个东西可以是数-对应到代数方程，也可是函数-对应到微分方程，也可是其他更广义的数学对象），我们期望解答它，或者至少是研究它的性质，那么，我们先把“限制条件”写下来，当这些限制条件是等式时，我们就得到了方程或者方程组。实际上方程就基本上等同于正式承认变量／未知数作为一个独立对象的存在，这个也可和数理逻辑／语言扯上关系。唯有常数的语言描述能力远远不够，故此，我们在语言里面加入变量，描述能力大大提高。

大家对方程的研究可以追溯到远古时期，大概3600多年前，古埃及人写在纸草书上的数学问题中就涉及了含有未知数的等式。公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔—花拉子米曾写过一本《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展出现了很大的影响。

在很长时间内，方程没有针对的表达形式，而是为了让用大多数情况下的语言文字来叙述。17世纪时，法国数学家笛卡尔早提出了用xy、z这样的字母来表示未知数，把这些字母和普通数字同样看待，用运算符号和等号把字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式。后来经过持续性的简化和改进，方程渐渐演变成目前的表达形式，比如6x+8=20，4x-2y=9，x-4=0等。

中国对方程的研究也有着悠久的历史。中国古代数学著作九章算术》大概成书于公元前200~50年，这当中有针对以“方程”命名的一章。这一章中所说的方程其实就是目前大家所说的一次方程组，方程组由哪些方程共同组合而成，它的解是这哪些方程的公共解。“方程”一章中以一部分实质上应用问题作为例子，并给出了用方程组的解题方法和技巧。

中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各个未知数的系数，而没有使用针对的记法来表示未知数。根据这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字方阵，这与现代数学中的矩阵很接近。我们国内古代数学家刘徽注释“方程”的含义时，曾指出“方”字与上面说的数字方阵有密切的关系，而“程”字则指列出含未知数的等式，故此，汉语中“方程”.一词早来源自于列一组含未知数的等式处理实质上问题的方式。宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元表示未知数而建立方程，这样的方式的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》，书中所说的“立天元一”基本上等同于目前的“设未知数x”。

随着数学研究范围的持续性扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越大，方程的类型也由简单到复杂持续性地发展。但是，不管类型如何变化，形形式式的方程都是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的等量关系;解方程的基本思想都是依据等量关系使未知数一步一步化为用已知数表达的形式，这正是方程的实质所在。

方程思想

方程与函数关系密切，方程问题也可转换为函数问题来解答，反之亦然。函数与不等式也可以相互转化。

定义

方程的思想是针对一个问题用方程处理的应用，也是对方程概念实质的认识是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、处理问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以处理这个问题。比如证明柯西不等式时，完全就能够把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

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