等价无穷小代换公式大全，运用等价无穷小替换的条件

公式请看下方具体内容

等价无穷小

等价无穷小是无穷小当中的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向途中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

条件：

1、被代换的量，在取极限时极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是，作为加减的元素时就不可以。

其实，等价无穷小是由泰勒公式推导而来，故此，运用等价无穷小的结论就是，乘除可以整体换，而加减情况不可以换，就算可以，那也是凑巧正确。下面给出那些情况下会“凑巧正确”。

使用等价无穷小有两大原则：1、乘除极限直接用。2、加减极限时看分子分母阶数。若使用等价无穷小后分子分母阶数一样，则可用；若阶数不一样则不可用。

重要等价无穷小的公式：

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（6）（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)

（7）（e^x）-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

（11）loga(1+x)~x/lna

（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小注意：

可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，故此，基本上等同于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但假设唯有一个有极限，或两个都没有。

用等价无穷小量的替换时，一定要要整体替换。用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近

基本条件：

1、2个是等价无穷小

2、乘除中部分加减法中也可以代换，有条件的，条件：代换后的加减法中，前一个被代换后的数除后一个被代换后数不等于±1。

比如：可代换的：lim x -0 2tanx-3sinx为分子除x为分母。这个当中分子2tanx-3sinx可以代换为2x-3x，理由是2x/（-3x）=负三分之二≠±1。不可以代换的：lim x -0 tanx-sinx为分子除x为分母。这个当中分子tanx-sinx不可以代换为x-x，理由是x/（-x）=±1。

这指的是在极限式子中

乘除法计算时可以替换

例如原式为f(x)/g(x)

而g(x)等价于h(x)

即g(x)/h(x)趋于1

既然如此那，写成f(x)/g(x) *g(x)/h(x)

当然等于f(x)/h(x)

其实就是同阶的h(x)替换了g(x)

x趋于无穷不可以用等价无穷小代换；

理由请看下方具体内容：

1、因为，在x→∞时，总存在这样的x：让sinx=0。故此总存在值为0的x*sinx，于是x*sinx不是无穷大。

2、因为，有界量乘无穷小量仍为无穷小量。x=kπ，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsinkπ=0x=2kπ+1/2π，x→无穷，k→无穷， limsinx=limsin2kπ+1/2π=1

不可以, 等价无穷小只是针对无穷小来说的, 比如

1-cosx~x²/2 (x-0)

说cosx~1-x²/2是不对的