平面向量垂直定理，向量证明面面平行垂直的所有公式

假设两个向量a、b不共线，既然如此那，向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。

这项定理实际上说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，实际上就是把他们在平面直角坐标系中分解，这个时候（x,y）就称针对这个问题向量的坐标。（此向量的起点为原点）故此，此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

假设向量a//向量ba=(x1,y1),b=(x2,y2)则有a=λb(x1,y1)=(λx2,λy2)即x1/x2=y1/y2=λ变形得x1y2-x2y1=0我简单单就来说一下一下，因为乘过去了，故此，排除了“零”的问题 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－下面证明垂直，垂直很简单，用数量积假设向量a⊥向量b，a=(x1,y1),b=(x2,y2)∴向量a·向量b=0∴x1x2+y1y2=0

向量是既有大小又有方向的量，针对￣a与￣b，在平面内任取一点O，作￣OA=￣a，作￣OB=￣b，则角AOB即是￣a与￣b所成角，当角AOB=90度时，￣a与￣b垂直，记作￣a丄￣b，这个时候￣a.￣b=|a丨|b|cosθ当夹角为锐角时，数量积大于0，当夹角为直角时，数量积等于0，当夹角为钝角时，数量积小于0。

平面向量垂直表示两向量的数量积等于零。

假设两个向量a、b不共线，既然如此那，向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。

这项定理实际上说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，实际上就是把他们在平面直角坐标系中分解，这个时候（x,y）就称针对这个问题向量的坐标。（此向量的起点为原点）故此，此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

垂直平分线方程的公式为：y=-(x2-x1/(y2-y1)* [x-(x1+x2)/2]+(y1+y2)/2。经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

向量a与向量b垂直，则垂直公式为x1x2+y1y2=0。

a=(x1,y1)，b=(x2,y2)

a垂直b，则：a*b=x1x2+y1y2=0

平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。方向一样或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零是起点与终点重合的向量，其方向无法确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。



向量平行、垂直公式

　　a,b是两个向量

　　a=（a1,a2） b=（b1,b2）

　　a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数

　　a垂直b：a1b1+a2b2=0

向量有关定义

　　负向量

　　假设向量AB与向量CD的模相等且方向相反，既然如此那，我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。

　　零向量

　　长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，故此，零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

　　相等向量

　　长度相等且方向一样的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。规定：全部的零向量都相等。

　　当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示一样向量。

　　自由向量

　　始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且，移动后的向量也还是代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都当成是同一个向量。数学中只研究自由向量。

　　滑动向量

　　沿着直线作用的向量称为滑动向量。

　　固定向量

　　作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。

　　位置向量

　　针对坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。

　　方向向量

　　直线l上的向量a还有与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。

　　相反向量

　　与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有 -(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。

　　平行向量

　　方向一样或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零是起点与终点重合的向量，其方向无法确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0

　　共面向量

　　平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。空间中的向量有且唯有以下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。注意：唯有三个或三个以上向量才谈共面不共面。

　　法向量

　　直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。

两个向量a,b平行：a=λb （b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即　a•b=0

坐标表示：a=(x1,y1),b=(x2,y2)

a//b当且仅当x1y2-x2y1=0，a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是唯有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。