球的表面积和体积公式推导过程，常见16个定积分公式?

写成微积分的形式，然后用定积分在用公式可解。

（1）

\\int{kdx=kx+C}

∫kdx=kx+C

（k是常数）

（2）

\\int{x^{μ}dx=\\frac{x^{μ+1}}{μ+1}+C},

∫x

μ

dx=

μ+1

x

μ+1

+C,

(u≠−1)

(u



=−1)

（3）

\\int{\\frac{1}{x}dx=ln|x|+C}

∫

x

1

dx=ln∣x∣+C

（4）

\\int{\\frac{dx}{1+x^{2}}}=arl\an x+C

∫

1+x

2

dx

=arltanx+C

（5）

\\int{\\frac{dx}{\\sqrt{1−x^{2}}}}=\\arcsin x+C

∫

1−x

2

dx

=arcsinx+C

（6）

\\int\\cos xdx=\\sin x+C

∫cosxdx=sinx+C

（7）

\\int{\\sin xdx=−\\cos x+C}

∫sinxdx=−cosx+C

（8）

\\int{\\frac{1}{\\cos ^{2}x}}dx=\an x+C

∫

cos

2

x

1

dx=tanx+C

（9）

\\int{\\frac{1}{\\sin ^{2}x}}dx=−\\cot x+C

∫

sin

2

x

1

dx=−cotx+C

（10）

\\int{\\sec x\an xdx=\\sec x+C}

∫secxtanxdx=secx+C

（11）

\\int{\\csc x\\cot xdx=−\\csc x+C}

∫cscxcotxdx=−cscx+C

（12）

\\inte^{x}dx=e^{x}+C

\\inte

x

dx=e

x

+C

（13）

\\int{a^{x}dx}=\\frac{a^{x}}{\\ln a}+C

∫a

x

dx=

lna

a

x

+C

，

(a0,且a≠1)

(a0,且a



=1)

（14）

\\int{shxdx}=chx+C

∫shxdx=chx+C

（15）

\\int{chxdx}=shx+C

∫chxdx=shx+C

（16）

\\int{\\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx}=\\frac{1}{a}arc\an \\frac{x}{a}+C

∫

a

2

+x

常用的积分公式有

f(x)-∫f(x)dx

k-kx

x^n-[1/(n+1)]x^（n+1）

a^x-a^x/lna

sinx--cosx

cosx-sinx

tanx--lncosx

cotx-lnsinx

1.f(x)-∫f(x)dx。k-kx。2.x^n-[1/(n+1)]x^（n+1

积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a0)的积分、含有√(a²+x^2) (a0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

1）∫0dx=c 不定积分的定义

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式

14)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15) ∫sec^2 x dx=tanx+c;

16) ∫shx dx=chx+c;

17) ∫chx dx=shx+c;

18) ∫thx dx=ln(chx)+c;

球的体积V=4/3*π*R^3，其中R^3代表R的立方,即R*R*R，球的表面积S=4*π*R^2，表面积公式推导需要用到积分.而通过表面积推导体积比较简单.在球的表面取很小的平面A,A与球心组成了一个椎体，可以应用椎体的体积公式Vx=1/3AR。

球体（globe）是一个连续曲面的立体图形，是一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体，简称球。半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。

1、球表面积公式：

公式中R为球的半径，S为球的表面积。

2、球的体积公式的推导

基本思想方法：

先用过球心 的平面截球 ,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙ 叫做所得半球的底面．

（l）第一步：分割．

用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．

（2）第二步：求近似和．

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值．

（3）第三步：由近似和转化为精确和．

当无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积．

用对面积的曲面积分喽

假设曲面的方程是x^2＋y^2＋z^2＝R^2,由对称性,只考虑第一卦限部分的面积

第一卦限的球面的方程是z＝√(R^2-x^2-y^2),αz/αx＝－x/z,αz/αy＝－y/z

dS＝Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)

第一卦限的球面在xoy面的投影区域是D：x^2＋y^2≤R^2,x≥0,y≥0

所以,球面面积S＝8∫∫Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)＝8∫(0～π/2)dθ∫(0～R) R/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR∫(0～R) 1/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR^2

球体的体积计算公式：

V=(4/3)πr^3

解析：三分之四乘圆周率乘半径的三次方 。

球体：

“在空间内一中同长谓之球。”

定义：

（1）在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。（从集合角度下的定义）

（2）以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球。（从旋转的角度下的定义）

（3） 以圆的直径所在直线为旋转轴，圆面旋转180°形成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球。（从旋转的角度下的定义）

（4）在空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面即球的表面。这个定点叫球的球心，定长叫球的半径。

一、求球体体积基本思想方法：

先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面。

（l）第一步：分割

用一组平行于底面的平面把半球切割成 层

（2）第二步：求近似和

每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值。

（3）第三步：由近似和转化为精确和

当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积。

二、数学语言表示：

现有一个圆x^2+y^2=r^2 在xoy坐标轴中 让该圆绕x轴转一周 就得到了一个球体

球体体积的微元为dV=π[√(r^2-x^2)]^2dx

∫dV=∫π[√(r^2-x^2)]^2dx 积分区间为[-r,r]

求得结果为

4/3πr^3

球的体积单位是dm³ cm³ m³

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

运算法则如下

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

定积分常用公式

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

积分的运算法则：积分的运算法则，别称积分的性质。积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积

kf(x)dx = k∫f(x)dx∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,b)f(x)dx

常用的积分公式有

f(x)-∫duf(x)dx

k-kx

x^n-[1/(n+1)]x^（n+1）

a^x-a^x/lna

sinx--cosx

cosx-sinx

tanx--lncosx

cotx-lnsinx

扩展资料：

函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。