傅里叶变换公式详解，用matlab做傅里叶变换

连续傅里叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform) 为 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。

除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对 。

或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F * (ω) 成立.

一、傅里叶级数(热传导、傅里叶余弦级数与傅里叶级数)

二、傅里叶变换(从傅里叶级数(Fourier Seires/FS)到傅里叶变换(Fourier Transform/FT)，2维傅里叶变换(2DFT)，3维傅里叶变换(3DFT))

三、离散傅里叶变换(Discreate Fourier Transform/DFT)、快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform/FFT)及其C++描述

四、傅里叶变换的应用(PDE求解、biot-savart方程、矩阵求解、谱方法、湍能谱

在日常工作中，我们会遇到matlab怎么做傅里叶变换及其可视化的问题，下面我就来详细说一下操作流程吧，希望能对你有所帮助~

1、首先咱们要建立一个简单的矩阵将其图像显示；

可以按照下图这样子，建立一个50×50的0矩阵，参数值咱们就这么设置：元素值设为1，f=zeros(50,50)，f=(6:24,13:17)；

2、接着，咱们再设置图像显示位置，使用函数subplot（）控制；

3、然后就是使用imshow()函数，标题title()，使创建的矩阵显示为图像；

4、对此二值图像进行二维傅里叶变换，即 F=fft2(f); %对图像进行二维傅里叶变换。变换结果（复数）；

5、再接着咱们再对二维傅里叶变换结果（复数），取绝对值abs(F)然后再取其对数，将其可视化，F2=log(abs(F));%对傅里叶变换结果取对数可视化；

7、后我们将取对数后的变换结果以图像显示，将其放在第二个位置subplot(1,2,2);%设置第二个图像显示区域imshow(F2,[-1 5],'notruesize');title('频域结果显示');notruesize表示适应窗口大小的方式显示即可。

傅里叶逆向变换公式

傅里叶逆变换公式:+∞ +∞ f(t)=1/2∏*∫ {∫f(u)exp(-iωu)du}*exp(iωt)dω -∞ -∞

现在用的非常广泛的一种图像压缩方法JPEG（即拓展名为.jpg的图片）都是采用了将图像8X8分块再进行DCT变换的办法DCT变换级二维离散余弦变换，是傅里叶变换简化。对于图像的傅里叶变换因为图像是二维矩阵，所以有二维离散傅里叶变换和二维连续傅里叶变换在matlab中也有对应的函数F1=fft2(I);一般8X8的图像，DCT变换之后变成8X8的频谱图，左上角为直流分量，表示图像较为平滑没有太大变化的部分，其他为交流分量，右下为高频部分，对应图像中灰度数值变化比较快的部分快断网了，如果还不清楚明天再说

1、傅里叶变换公式

公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。

2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

3、相关

傅里叶变换属于谐波分析。

傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。

扩展资料：

根据原信号的不同类型，可以把傅里叶变换分为四种类别：

1、非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）

2、周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

3、非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

1、傅里叶变换公式

公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。

2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

3、相关

傅里叶变换属于谐波分析。

傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。

扩展资料：

根据原信号的不同类型，可以把傅里叶变换分为四种类别：

1、非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）

2、周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

3、非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

傅里叶变换的目的是可将时域（即时间域）上的信号转变为频域（即频率域）上的信号，随着域的不同，对同一个事物的了解角度也就随之改变，因此在时域中某些不好处理的地方，在频域就可以较为简单的处理。

傅里叶变换公式：

（w代表频率，t代表时间，e^-iwt为复变函数）

傅里叶变换认为一个周期函数(信号)包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（基函数）相加而合成。

从物理角度理解傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。

f(x)=e^-ax^2（a0）的傅立叶变换是F(ξ)=[1/√(2a)]e^-[ξ^2/(4a)]。

傅里叶变换（Fourier transformation）具有的性质：

（1）线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合

（2）位移性质（shift信号偏移，时移性）：

如：

f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）

而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）

（3）微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw

（4）积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw

利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过求解代数方程和求傅氏逆变换，可得到微分方程的解。