平方数列求和公式怎么来的，等差数列平方和公式推导

数学归纳法可以证

也可请看下方具体内容做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^2

=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

因为n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

故此，1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

故此，1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

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利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，

第一行1个圈，圈内的数字为1

第二行2个圈，圈内的数字都为2，

从而类推

第n行n个圈，圈内的数字都为n，

我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形全部圈内数字的和。设这个数为r

下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形

再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形

然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，

我们神奇的发现全部圈内的数字都变成了2n+1

而总共有哪些圈呢，这是一个简单的等差数列求和

1+2+……+n=n(n+1)/2

于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

r=n(n+1)(2n+1)/6

解答：等差数列平方和公式为Sn＝na1平方＋n（n一1）a1d十1／6 n（n一1）（2n一1）。

设等差数列首项为a1，公差为d，则通项an＝a1十（n一1）d

a1平方十a2平方十……十an平方

＝a1平方十（a1十d）平方＋………十〈a1＋（n一1）〉平方

＝a1平方十（a1平方十2a1d十d平方）十……十a1平方十2（n一1）a1d十〈（n一1）d〉平方

＝na1平方十2〈1＋2十……

十（n一1）〉a1d＋〈1平方＋2平方……十（n一1）平方〉d平方

＝na1平方＋n（n一1）ald

十1／6 n（n一1）（2n一1）。

设首项为a1,公差为d的等差数列各项平方的和为：

=a1²+(a1+d)²+(a1+2d)²+--+[a1+(n-1)d]²

=na1²+[2+4+6+--+2(n-1)]d+[1²+2²+3²+--+(n-1)²]d²

=na1²+n(n-1)d+n(n-1)(2n-1)d²

等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，假设一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差经常会用到字母d表示 。

比如：1,3,5,7,9……（2n-1)。等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 。

扩展资料

等差数列中，一定是后项与前项的差为常数，而不是后项与前项或前项与后项的差为常数。如，1,3,1,3,1，就不是等差数列，而是摇摆数列。

等差数列是可以用公式表示的数列。等差数列的公差可以为0，当且仅当公差为0时，数列不具有枯燥乏味性。其他情况下，等差数列都具有枯燥乏味性。

等差数列的前n项和求和公式：Sn=na1+[n(n-1)d]/2或Sn=[n(a1+an)]/2。m+n=p+q时，am+an=ap+aq。等差数列的前n项和可以写成Sn=an²+bn的形式。Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也还是成等差数列，公差为n²d。

公式：Sn=(a1+an)n/2 ；Sn=na1+n(n-1)d/2（d为公差）； Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1-(d/2)。

等比数列有求通项公式，求和公式，没有听到有人说有平方公式

平方数列求和公式推导过程是通过(n+1)³-n³=3n²+3n+1，Sn=1²+2²+。。+n²，Tn=1+2+。+n=n(n+1)/2，得：∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1，(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n，因为这个原因Sn=n(n+1)(2n+1)/6。

等差数列是一系列有规律的数字，每一个数字和前一个数字的差为定值，如1，2，3，4……或者2，4，6，8……这些都是等差数列，第一个公差为一，第二个公差为二

平方差公式是(a+b）（a-b）等于a平方剪b平方那就是平方差公式，这个可以用于俩数相加乘以这俩数相减的题

前n项自然数平方和的计算公式：

推导请看下方具体内容:

∵n^2=n(n+1)-n

∴1^2+2^2+3^2+......+n^2

=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

又因为n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

故此，1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

=[n(n+1)(n+2)]/3

故此，1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

数列k平方的前n项和为：Sn=n（n+1）（2n+1）/6。