证明求积公式具有三次代数精度，为使求积公式具有高精度的条件

辛普森求积公式的代数精度为3，其实就是常说的说针对针对次数不能超出3次的多项式f(x)在[a,b]上的定积分用辛普森公式计算总是对的。

设有n+1个求积结点,针对求积公式

∫{a,b}f(x)dx=∑{i=0,n}λi*f(xi) （1）

要使（1）式具有m次代数精度,则要求f(x)为1,x,x^2,x^3,...,x^m时求积公式准确成立,即

∑{i=0,n}λi=∫{a,b}1dx=b-a

∑{i=0,n}λi*xi=∫{a,b}xdx=1/2*(b^2-a^2)

∑{i=0,n}λi*(xi)^2=∫{a,b}x^2dx=1/3*(b^3-a^3)

∑{i=0,n}λi*(xi)^3=∫{a,b}x^3dx=1/4*(b^4-a^4)

...

∑{i=0,n}λi*(xi)^m=∫{a,b}x^mdx=1/(m+1)*[b^(m+1)-a^(m+1)]

该非线性方程组中未知数为λi与xi,i=0,1,...n,总共有2*(n+1)个

因为这个原因,要得出全部未知数,多有2*(n+1)个方程,这个时候m=2*n+1

即高代数精度为2*n+1

因为原题为两个求积结点,故n=1,高代数精度m=2*n+1=3

令a=-1,b=1,则方程组为

∑{i=0,1}λi =λ₀+λ₁=2 （2）

∑{i=0,n}λi*xi =λ₀*x₀+λ₁*x₁=0 （3）

∑{i=0,n}λi*(xi)²=λ₀*(x₀)²+λ₁*(x₁)²=2/3 （4）

∑{i=0,n}λi*(xi)³=λ₀*(x₀)³+λ₁*(x₁)³=0 （5）

不妨设a≤x₀

辛普森求积公式的代数精度为3，其实就是常说的说针对针对次数不能超出3次的多项式f(x)在[a,b]上的定积分用辛普森公式计算总是对的。

明显不同，不是同一个意思。代数精度高不可以代表精度高,可以当成是精度的一种,主要用在插值里判断插值的效果。

假设数值求积公式针对任何不高于m次的代数多项式都准确成立，而对m+1次代数多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度，简称代数精度。

假设数值求积公式针对任何不高于m次的代数多项式都准确成立，而对m+1次代数多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度。 扩展资料： 代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会出现什么，还有了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。

代数的研究对象不单单是数字，而是各自不同的抽象化的结构。在这当中我们只关心各自不同的关系及其性质，而针对“数本身是什么”这样的问题依然不会关心。

常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。 代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。

假设不涵盖除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。

比如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3。

假设数值求积公式针对任何不高于m次的代数多项式都准确成立，而对m+1次代数多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度，简称代数精度。

复化求积公式(composite integration rule )是一类重要的求积公式。指将求积区间分为m个子区间，对每个子区间应用同一求积公式，所得到的复合数值积分公式。

为了提升数值积分的精确度，常采取将区间等分成个子区间，其长度为，在每个子区间上用低阶的求积公式，然后将全部子区间上的计算结果加起来，这样得出的公式称为复化求积公式。

牛顿-科特斯公式

科特斯(Cotes)系数

特点：Cotes 系数仅主要还是看 n 和 i，可以通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 为梯形求积公式

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积。梯形公式的余项为 代数精度 = 1

n = 2:

Simpson求积公式（为抛物线求积公式）

辛普森公式的余项为 代数精度 = 3

n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

柯特斯公式的余项为 柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1) 当 n ? 8 时，产生负数，稳定性得不到保证。而且，当 n 很大时，因为Runge情况，收敛性也没办法保证。大多数情况下不采取高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的

复化求积公式特点

直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会很大当n8时，公式的舍入误差又超级难得到控制这个时候，使用复化方式，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，后将每个小区间上的积分的近似值相加，这样的方式称为复化求积法

复化梯形公式余项为 误差是阶 即复化梯形公式是收敛的

误差是h4阶， 复化辛普森公式是收敛的时候，复化柯特斯公式也是收敛的三种复化公式的余项

在数值分析上，梯形法则和辛普森法则均是数值积分的方式。它们都是计算定积分的。

这两种方式都属于牛顿-柯特斯公式。它们以函数于等距点的值，获取一个次的多项式来近似原来的函数，再行求积。

缺点

针对次数非常高的多项式而有很大误差（龙格情况），不如高斯积分法。

牛顿-科特斯公式

科特斯(Cotes)系数

特点：Cotes 系数仅主要还是看 n 和 i，可以通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 为梯形求积公式

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积。梯形公式的余项为 代数精度 = 1

n = 2:

Simpson求积公式（为抛物线求积公式）

辛普森公式的余项为 代数精度 = 3

n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

柯特斯公式的余项为 柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1) 当 n ? 8 时，产生负数，稳定性得不到保证。而且，当 n 很大时，因为Runge情况，收敛性也没办法保证。大多数情况下不采取高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的

复化求积公式特点

直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会很大当n8时，公式的舍入误差又超级难得到控制这个时候，使用复化方式，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，后将每个小区间上的积分的近似值相加，这样的方式称为复化求积法

复化梯形公式余项为 误差是阶 即复化梯形公式是收敛的

误差是h4阶， 复化辛普森公式是收敛的时候，复化柯特斯公式也是收敛的三种复化公式的余项