齐次微分方程的通解和特解，一阶齐次方程公式

齐次微分方程的通解公式是：y=f（y/x），这当中 f 是已知的连续方程。解答齐次微分方程的重点是作变换u=y/x，即y=ux ，它可以把方程转换为有关u与x的可分离变量的方程，这个时候有y=u+xu，代入原方程就可以得可分离变量的方程u+xu=f（u） ，分离变量并积分就可以得到结果，需要大家特别注意的是，后应把 u=y/x代入，并作必要的变形。

dy/dx=u+xdu/dx是由复合函数的求导法则而来，y=u(x)x、dy/dx=u(x)+xdu(x)/dx，即：dy/dx=u+xdu/dx。2、令y=ux，对等式两边同微分得：dy=xdu+udx，两边同除dx得：dy/dx=u+xdu/dx。齐次一阶微分方程是一种数学术语。指在方程中只含有未知函数及其一阶导数的方程。

分类分析当Q(x)≡0时，方程为y+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y是有关y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是有关x及其各阶导数的0次项，故此，为齐次。)当Q(x)≠0时，称方程y+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(因为Q(x)中未含y及其导数，故此，是有关y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，故此，为非齐次。)。

通解公式请看下方具体内容：齐次线性方程组AX=0：若X1，X2，Xn-r为基础解系，则X=k1X1＋k2X2+kn-rXn-r，即为AX=0的都解（或称方程组的通解）。

求齐次线性方程组通解要先求基础解系：

1、写出齐次方程组的系数矩阵A；

2、将A通过初等行变换化为阶梯阵；

3、把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n–r个）；d令自由元中一个为1，其余为0，求得n–r个解向量，即为一个基础解系。

一阶微分方程

假设式子可以导成y+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)解答

若式子可变形为y=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x解答

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分解答

二阶微分方程

y+py+q=0 可以故将他化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。 　　

1 若实根r1不等于r2 　　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 　　

2 若实根r1=r2 　　y=(c1+c2x)*e^(r1x) 　　

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前几天刚考完试，按照常出的题型自己做的总结，期望有用处O(∩_∩)O~

解微分方程，为了得到通解，确实需技巧的，每种类型的方程都拥有自己特定的解法。

function dx=tf(t,x) %保存默认的格式 tf.m

dx=zeros(2,1)；

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2)；

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2)；

%%%%%主程序调用

[t,x]=ode45(tf,[0 10],[50000 200]) %[0 10] %时间开始点 ,[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法,那就数值解法.数值解法是经常会用到的.也是可以反映数学之有用之处的.

万用公式肯定没有，假设是求数值解或者级数解，有不少类型的方程解法差不多的。

不过假设仅仅指高数里面的微分方程那很容易。

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的重点是辨识要解答的方程是什么类型。

可分离变量型，时常是y=f(x)/g(y)或者y=f(x)g(y)这样的，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。

求根公式型（涵盖常数变易法公式），时常是y=p(x)y+q(x)的形式或者经很简短的变形完全就能够化为这样的形式，直接套用求根公式解答。

伯努利（Bernoulli）方程，y=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中含有y的2次方以上大部分都是这样的方程。

全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的试题，故此，涉及的全微分方程都是直接就是这样的形式。用凑微分法或者直接积分公式都可以解。

高阶常系数微分方程只要能记住齐次通解公式和两个特解形式完全就能够做任何题。

欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。

微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中有关Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项有关y、y'的次数为0或1。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程相关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以处理不少与导数相关的问题。物理中不少涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，不少可以用微分方程解答。除开这点微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都拥有应用。

二阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构，你应该清楚吧？一阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构也是类似的.解的特点：一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解通解的结构：一阶齐次：y＝cy1，y1是齐次方程的一个非零解一阶非齐次：y＝y*＋cy1，这当中y*是非齐次方程的一个特解，y1是对应的齐次方程的一个非零特解＝＝＝这与直接套用公式得到的一阶线性方程的通解差不多的

特点方程是r³+r²-r-1=0 求得r=-1,-1,1

通解公式是 [C1+C2x]exp(-x)+C3exp(x)

齐次微分方程就是y改成1，y‘改成r，y’改成r² ，y的n阶导数改成r的n次方，就可以得特点方程

其实就是为了看到是否有特解y=exp(rx)

r产生m重根时λ是 特解为 [c1+c2x+...+cm x^(m-1)]exp(λx)

为什么会这样了，按上例说明

可做个变换y=exp(-x)z ，则有z'''-2z''=0 就可以清楚的知道z''=0 是满足特解 （还有一个特解z=exp(2x) )

z''=0 可得z=C1+C2x y=(C1+C2x)exp(-x) (还有一个特解z=exp(2x) 可导出特解y=exp(x) )

因为矩阵通过可逆变换不会改变行列式的非零性，故此，通过矩阵变换把原系数矩阵变换为倒三角形式，比如A1:

x1x2x3y1y2y3z1z2z3

变换后A2：

x1x2x3y1y2z1

这个变换不影响行列式非零性，然后通过行列式公式算的det(A2) = x1*y1*z1,其实就是常说的说倒三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积。

故此，假设行列式等于0，既然如此那，肯定z1等于0，既然如此那，这个矩阵就不是满秩矩阵，AX = 0这个方程就自然有大量的非零解了。

公式是∫e^(-p(x))dx，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个常数。不需要再写∫e^(-p(x))dx+c了。

扩张资料

什么叫做一阶线性微分方程？

形如(记为式1)的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它有关未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设,是x的连续函数。

若,式1变为(记为式2)称为一阶齐次线性方程。 假设不恒为0,式1称为一阶非齐次线性方程,式2也称为对应于式1的齐次线性方程。 式2是变量分离方程,它的通解为,这里C是任意常数。

正常情况下，微分方程方程都拥有边界条件和/或初始条件，当你清楚p(x)的详细形式时，算这个不定积分，应该保留一个常数，而后用边界条件和/或初始条件来确定常数的值，得到完全确定的解。

特点方程是r³+r²-r-1=0 求得r=-1,-1,1

通解公式是 [C1+C2x]exp(-x)+C3exp(x)

齐次微分方程就是y改成1，y‘改成r，y’改成r² ，y的n阶导数改成r的n次方，就可以得特点方程

其实就是为了看到是否有特解y=exp(rx)

r产生m重根时λ是 特解为 [c1+c2x+...+cm x^(m-1)]exp(λx)

为什么会这样了，按上例说明

可做个变换y=exp(-x)z ，则有z-2z=0 就可以清楚的知道z=0 是满足特解 （还有一个特解z=exp(2x) )