数学泰勒公式有人知道泰勒公式是怎么推导出，泰勒公式的余项推导

函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数,我们期望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使这个多项式与f(x)在x0处具有一样的函数值及一样的直到n阶的导数值,容易确定这个多项式就是

Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+

+[f(x0)/n!](x-x0)^n

这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.

确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项

Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0当中）,这需用n+1次柯西中值定理,教科书上都拥有具体的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页.

泰勒公式（Taylors formula） 　　带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用LHospital法则来推导, 　　f(x)=f(x0)+f(x0)/1!*(x-x0)+f(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n) 　　

泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x)在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在这里区间内时,可以展开为一个有关（x-x.)多项式和一个余项的和： 　　f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!*(x-x.)^2,+f(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x) 　　这当中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.当中,该余项称为拉格朗日型的余项. 　　

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.） 　　使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导.这当中o((x-x0)^n)表示n阶无穷小. 　　Taylor公式典型的应用就是求任意函数的近似值.Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等

步骤1

sinx泰勒公式：sinx=sinα·cosβ。

步骤2

我们可以将sinx可以被展开成：a0*x^+a1*x^+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+……这样的幂级数的形式，即：sinx= 1！*x^1+3！*x^3+5！*x^5+7！*x^7+... +(2n+1)！*x^(2n+1)+……这样的幂级数展开叫作正弦函数的泰勒展开。

步骤1

正弦函数的泰勒公式为

步骤2

我们可以将sinx可以被展开成：a0*x^+a1*x^+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4+……这样的幂级数的形式，即：sinx= 1！*x^1+3！*x^3+5！*x^5+7！*x^7+... +(2n+1)！*x^(2n+1)+……这样的幂级数展开叫作正弦函数的泰勒展开。

tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+...+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+......(|x|π/2)。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。

tanx的麦克劳林公式是什么？设(x)=tanx，则tanx的麦克劳林公式为：f(x)=f(0)f(0)x f(0)/2!·x^2, f(0)/3!·x^3 o(x^n)=0 x 0 2/3!·x^3 o(x^n)= x x^3 /3 o(x^n)。



麦克劳林级数是泰勒级数的情况特殊，其实就是常说的可以简单理解成为a=0时，f（x）的展开式。这样的公式在应用时依然不会需直接背诵，因为直接背诵，可能会造成整个公式会记忆的更混乱，好的学习方式就是自己去循序渐进的推导这麦克劳林公式，这样可以有助于公式的应用还有学习中的举一反三。

麦克劳林公式是做什么的呢？简单来讲，就是用一个多项式的函数去无限的逼近另外一个给定的汉书，而且，这样的逼近是一定要从函数图像上面来针针对内部的某一个点来展开。

arcsinx泰勒公式推导f(0)+f(0)x+(1/2)f(0)x^3+o(x^4) =x+(1/6)x^3+o(x^4)，以此并且泰勒公式主要是采取每一个方程式还有一元二次方程式，还有针对的转换工程师进行针对的来回的推翻和证明的，一个来回推导有一个推倒的过程会带来一定区别差不多是可以达到的。

其泰勒公式的推导方式请看下方具体内容：

设f(x)=arcsinx f (0)=0

(arcsinx)=1/√1-x^2 f(0)=1

(arcsinx)=x(1-x^2)^(-3/2) f(0)=0

(arcsinx)=(1-x^2)^(-3/2)+3x^2(1-x^2)^(-5/2) f(0)=1

f(x)=arcsinx在x=0点展开的三阶泰勒公式为：

arcsinx=f(0)+f(0)x+(1/2)f(0)x^2+(1/6)f(0)x^3+o(x^4) 代入以上数值：

=x+(1/6)x^3+o(x^4)

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里第一次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时常常使用的近似方式之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。