lnx的泰勒公式推导，lnx的泰勒级数展开
lnx的泰勒公式推导？
lnx泰勒公式展开为：ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3。。+(-1)^(n-1)x^n/n+。。泰勒公式，应用于数学、物理领域是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
假设函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实质上的函数值当中的偏差。
泰勒简介18世纪早期英国牛顿学派优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。
1709年后移居伦敦，取得法学学士学位。 1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。
1717年，他以泰勒定理解答了数值方程。后在1731年12月29日于伦敦逝世。 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理总体可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。
然而在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重要价值。这一重要价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。 泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪后面，由柯西给出的。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，这当中以相关弦的横向振动之结果特别重要。他透过解答方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
除开这点此书还涵盖了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
lnx = 1+1/2(x-e) - 1/8(x-e)² + .......+ (-1)(-2)...×(-n+1)/(n!×2^n) (x-e)^n + (-1)(-2)...×(-n)/((n+1)!×ζ^(n+1)) (x-e)^(n+1)
ln(x+1)的三阶泰勒公式是ln(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)在泰勒公式中n取几就是几阶的.三阶泰勒公式里的皮亚诺余项是o(x^3),因为假设再往后写,泰勒公式中后面的项是x^4,x^5..,当x趋于0时,它们的和是比x^3更高阶的无穷小量,因为这个原因写o(x^3).
泰勒展开是在定义域内的某一点展开,lnx在x=0处无定义,它不可以在x=0处展开 大多数情况下用ln(x+1)来套用麦克劳林公式
ln x的泰勒级数？
lnx = 1+1/2(x-e) - 1/8(x-e)² + .......+ (-1)(-2)...×(-n+1)/(n!×2^n) (x-e)^n + (-1)(-2)...×(-n)/((n+1)!×ζ^(n+1)) (x-e)^(n+1)
为什么lnx=ln等价于x-1？
这个等价是有条件的,x趋近于1.
按照公式ln(1+x)~x (x-0)
既然如此那，x-1时,x-1-0,看成整体带进上面公式就可以得到：
x-1时,lnx=ln(1+x-1)等价于x-1
ln函数的运算法则：ln(MN)=lnM+lnN，ln(M/N)=lnM-lnN，ln（M^n)=nlnM，ln1=0，lne=1，拆开后，M，N需大于0。没有ln(M+N)=lnM+lnN，和ln(M-N)=lnM-lnN，lnx是e^x的反函数。
对数的推导公式：
（1）log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)
（2）loga(b)*logb(a)=1
（3）loge(x)=ln(x)
（4）lg(x)=log10(x)
log(a)(b)表示以a为底b的对数。
换底公式拓展：以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）
x趋于1时，lnx的等价无穷小是x-1.
因为lnx的导数是1/x，在x=1时的值是1，lnx=1×(x-1)+o(x).
你同样完全可以直接求lnx/(x-1)在x趋于1时候的极限是1.t→0 ln(t+1)~t
令x=t+1 x-1=t
x→1 t→0
lim(x→1)lnx/(x-1)=lim(t→0)ln(t+1)/t=1
此函数可由泰勒公式展开成一个x的n次多项式，因为高中没学，我换一种做法。高中学习了导数，我利用导数证明。当x趋近于0时由导数的意义f(x)=df(x)/dx.当x趋近于0,df(x0)=f(x0+x)-f(x)=f(x0)x,故此，f(x0+x)=f(x0)+f(x0)x,令x0=0,则f(x)=f(0)+f(0)x.这个方向f(x)=ln(1+x),故此，当x趋近于0时有f(x)=ln1+(ln(1+x))x=x/(1+x).
泰勒不等式公式？
f(x)=f(x0)+f(x0)*(x-x0)+f(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n
余弦函数的泰勒三阶展开1-（x²/2），因为其下一个展开是恒大于0的（x四次方/4！）故易得（1-x²/2）恒≤cosx这个不等式，类似的我们对其他基本函数进行展开也可推出非常多不等式 ，如对以e为底的指数函数进行展开得到在实数范围内e的x次方恒≥1+x与lnx≤x-1等
泰勒中值定理（泰勒公式）[4] 。
若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，既然如此那，针对任一
，有[4]
这当中，
，这个方向的
为
与
当中的某个值。
称为
阶泰勒公式，这当中，
称为
次泰勒多项式，它与
的误差
称为
阶泰勒余项[4] [5] [6] [
泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n
lnx+1麦克劳林公式推导？
第一求根号（1+x）的麦克劳林公式：
f(x)=g(x^2)。
g(x)=1+g(0)*x+g(x)/2!*x^2+...+g(n)(0)/n!*x^n+...。
后一项中n表示n阶导数：
g(n)(0)=1/2*(1/2-1)*..(1/2-(n-1))=(-1)^(n-1)(2n-1)!!/2^n。
故此，f(x)=1+x^2/2+....+(-1)^(n-1)(2n-1)!!/(2^n*n!)*x^2n+....。
总结求极限的方式？
第一呢 我先说一下这是一篇网络在线广为流传的文章数分考试中求极限的方式大多数情况下都不会在超过文章的范围了======================================我总结的16种求极限的方式（你还能找出其他的？）第一说下我的感觉， 假设高等数学是棵树木得话，既然如此那， 极限就是他的根， 函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只可以枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节实质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，故此，也具有函数的性质。函数的性质表目前各个方面
第一 对 极限的总结 请看下方具体内容
极限的保号性非常的重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限完全一样
1 极限分为 大多数情况下极限 ， 还有一个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是大多数情况下极限的一种）
2处理极限的方式请看下方具体内容：（我能列出来的都列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化， （只可以在乘除时候使用，但是，不是说一定在加减时候不可以用 但是，前提是一定要证明拆分后极限仍然存在） e的X次方-1 或者 （1 x）的a次方-1等价于Ax 等等 。
都熟记
（x趋近无穷时还原成无穷小）
2落笔他 法则 （大试题有的时候，候会有暗示 要你使用这个方式）
第一他的使用有严格的使用前提！！！！！！
一定要是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（故此，面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况罢了是必要条件
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）
一定要是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假设告诉你g（x）, 没告诉你是不是可导， 直接用无疑于找死！！）
一定要是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还需要注意分母不可以为0
落笔他 法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用
2 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）故此， 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项后面 这样就可以变成1中的形式了
3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方
针对（指数幂数）方程 方式主要是取指数还取对数的方式， 这样就可以把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， （ 那就是为什么唯有3种形式的因素， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷时 LNX趋近于0）
3泰勒公式 (含有e的x次方时 ，特别是含有正余旋 的加减时要 特变注意 ！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1 x展开
对试题简化有很好帮
4面对无穷大比上无穷大形式的处理办法
取大头原则 大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候， 特别是正余旋的复杂函数与其他函数相乘时，一定要注意这个方式。
面对很复杂的函数 可能只清楚它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用还未确定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方法（对付数列极限） 比如清楚Xn与Xn 1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn 1的极限时一样的 ，应为极限去除有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。
这两个非常的重要 ！！！！！对第一个来说是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就假设x趋近无穷大 无穷小都拥有对有对应的形式
（地2个其实是 用于 函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1 时要非常注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有一个方式 ，很方便的方式
就是当趋近于无穷大时候
不一样函数趋近于无穷的速度是明显不同的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也可以看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷时 他们的比值的极限一眼就可以看出来了
12 换元法 是一种技巧，不会对模一道试题来说就只换元， 但是，换元会夹杂这当中
13假设要算， 四则运算法则也算一种方式 ，当然也是夹杂这当中的
14还有对付数列极限的一种方式，
就是当你面对试题实在是没有办法 走投无路时可以考虑 转化为定积分。
大多数情况下是从0到1的形式 。
15枯燥乏味有界的性质
对付递推数列时候使用 证明枯燥乏味性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限 ，
（大多数情况下都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式， 看见了有非常注意）
（当试题中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0时 就是暗示你一定要用导数定义！！！！）。
求函数f(x)=lnx按x-2的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式？
lnx=ln(2+(x-2))=ln2(1+(x-2)/2)=ln2+ln(1+(x-2)/2).后面第二项能根据ln(1+t)展开成泰勒公式，前面那个ln2就不动。
