复杂的定积分如何求原函数，定积分与原函数的区别与联系教案

1、原式=-∫d(1+cosx)/√(1+cosx)=-2 √(1+cosx)+C利用的公式为∫dx/√x =2√x+C2、令√x=t，x=t²，dx=2tdt原式=2∫t e^t dt=2∫t d(e^t) =2t e^t - 2∫e^t dt=2t e^t -2e^t +C=2(√x -1)e^(√x)+C

令t=2nπx，则x=t/2nπ，dx=dt/2nπ

原式=(1/2nπ)*∫[1-t^2/(2nπ)^2]*costdt

=(1/2nπ)*∫costdt-[1/(2nπ)^3]*∫t^2*costdt

=(1/2nπ)*sint-[1/(2nπ)^3]*∫t^2*d(sint)

=(1/2nπ)*sint-[1/(2nπ)^3]*(t^2*sint-2∫tsintdt)

=(1/2nπ)*sint-[1/(2nπ)^3]*t^2*sint-[2/(2nπ)^3]*∫td(cost)

=(1/2nπ)*sint-[1/(2nπ)^3]*t^2*sint-[2/(2nπ)^3]*(tcost-∫costdt)

=(1/2nπ)*sint-[1/(2nπ)^3]*t^2*sint-[2/(2nπ)^3]*(tcost-sint)+C

=(1/2nπ)*sin(2nπx)-(1/2nπ)*x^2*sin(2nπx)-[2/(2nπ)^2]*xcos(2nπx)+[2/(2nπ)^3]**sin(2nπx)+C

1、定积分(它是一个数，常数)，它可以通过不定积分来求得(牛顿莱布尼茨公式)。

2、函数 f（x）的定积分与这个函数的原函数F(x) 是关联非常密切的. 定积分是由函数话f(x)确定的某个值（一个数），而原函数F(x)是一个函数，它的导数是f(x)，而不定积分是全部的原函数。

3、定积分计算的是详细的数值（得出的借给是一个详细的数字）

定积分是个值，原函数是函数，

假设f(x)在(a,b)上黎曼可积，并且有原函数F(x)

则f(x)在(a,b)上的定积分等于F(b) - F(a) （微积分基本定理）

对有积分上下限函数的求导的公式:[∫(a,c)f(x)dx]=0,a,c为常数。解释:针对积分上下限为常数的积分函数,其导数=0等。[∫(a,c)f(x)dx]=0,a,c为常数。解释:针对积分上下限为常数的积分函数,其导数=0。

这里说的“积分变限函数”就是用定积分定义的函数，这当中自变量出现在->积分的上限或下限。

在讲牛顿-莱布尼茨定理时，我们用定积分对一个连续函数f(x)函数，定义了一个这样的函数：因为这个函数的自变量x在积分上限，我们称这样的函数为“积分上限函数”。在微积分里证明了：这个积分上限函数是f(x)的原函数，或者说，f(x)是这个积分上限函数的导数。这个结论直接致使了微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。

初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方式将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量，积分和导数运算是逆运算。(牛顿莱布尼兹公式)

积分是微分的逆运算，即了解了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅是这样，它被非常多应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的解答方式是积分特殊的性质决定的。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若唯有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是大的区间长度），假设当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

被积函数未必唯有一个变量，积分域也可是不一样维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且唯有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上枯燥乏味，则f(x)在[a,b]上可积。

1、公式法

比如∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C ∫dx/x=lnx+C ∫cosxdx=sinx 等不定积分公式都应牢牢的记在心里，不能忘了，针对基本函数可直接得出原函数。

2、换元法

针对∫f[g(x)]dx可令t=g(x),得到x=w(t),计算∫f[g(x)]dx等价于计算∫f(t)w'(t)dt。 比如计算∫e^(-2x)dx时令t=-2x,则x=-1/2t,dx=-1/2dt,代入后得：-1/2∫e^tdt=-1/2e^t=-1/2e^(-2x)。

3、分步法

针对∫u'(x)v(x)dx的计算有公式： ∫u'vdx=uv-∫uv'dx(u,v为u(x),v(x)的简写) 比如计算∫xlnxdx，易知x=(x^2/2)'则： ∫xlnxdx=x^2lnx/2-1/2∫xdx =x^2lnx/2-x^2/4=1/4(2x^2lnx-x^2) 通过对1/4(2x^2lnx-x^2)求导就可以得到xlnx。

4、综合法

综合法要求对换元与分步灵活运用，如计算∫e^(-x)xdx。

分布函数 F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx 1.x0， F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx=∫[-∞,0]f(x)dx+∫[0,x]f(x)dx =0+∫[0,x]λe^(-λx)dx=-∫[0,x]e^(-λx)d(-λx)=-[0,x][e^(-λx)]=1-e^(-λx) 故此，F(x)=0 (x≤0) =1-e^(-λx) (x0) 分段函数的定积分在计算时分开积分上下限就可以。函数f(x)=x*e^(x^2)是闭区间[-1/2,1/2]上的奇函数，且积分区间有关原点对称，故此，这个定积分为0.

指数函数的积分公式是

∫e^x dx = e^x+c

∫e^(-x) dx = -e^x+c

(c为常数)

因为e^x的微分还是e^x，故此，上面的积分可以直接得到~

在这里补充一下大多数情况下指数函数的积分：

y=a^x 的积分为

(a^x)/ln(a) + c

扩展资料

积分是微分的逆运算，即了解了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅是这样，它被非常多应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的解答方式是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分还有其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、非常大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。函数的积分公式强调一下有关三角函数的积分求导公式，各位考生相对不太熟悉，但是，考察的还是一个重点，多背，多写，多答题，这个部分需掌握并熟悉。前期跟你们说的都是基本，简单的概念，题型，过一遍肯定是毫无压力的，大约一个多月完全就能够过一遍，这是预习阶段，这不是第一轮数学，一定注意！！！一轮还是没有启动，公告仍需努力！

这个可以直接用公式写，就等于e的x次方。因为e的x次方的导数等于本身。如果是负x次方，也简单呀，凑下微分就可以。等于负的e的负x次方。

∫e^xdx

=e^x+c

∫a^xdx

=a^x/lna +c

∫e^(-x)dx

=-∫e^(-x)d(-x)

=-e^(-x)+c。∫e^x dx = e^x+c

∫e^(-x) dx = -e^x+c

(c为常数)

因为e^x的微分还是e^x，故此，上面的积分可以直接得到~在这里补充一下大多数情况下指数函数的积分：

y=a^x 的积分为

(a^x)/ln(a) + c

-------

推导-

f（x）在区间[a，b]的平均值公式是∫（a，b）f（x）dx=（b-a）f（ξ）。平均值公式可以用积分中值定理求得，积分中值定理可以使积分号去除，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，以此使问题简化。

定积分平均值公式

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方式， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判断某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。