如何证明数学几何题”四点共圆“，四点共圆怎么证明相似

已知四点，证明四点共圆：

1、从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，就可以肯定这四点共圆。

2、把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），以此就可以肯定这四点共圆。 几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。 证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，既然如此那，∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。

3、把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆。

4、把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等就可以肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以肯定这四点也共圆。

四点共圆　　证明四点共圆的基本方式证明四点共圆有下述一部分基本方式：方式1　　从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，就可以肯定这四点共圆。方式2　　把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），以此就可以肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，就可以肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）方式3　　把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆。方式4　　把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，就可以肯定这四点共圆（按照相交弦定理​的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以肯定这四点也共圆。（按照托勒密定理的逆定理）方式5　　证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，以此确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，就可以肯定这四点共圆．上面说的五种基本方式中的每一种的按照，就是出现四点共圆的一种因素，因为这个原因当要求证四点共圆的问题时，第一就要按照出题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方式中选择一种证法，给予证明． 判断与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） △ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理方式6同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

方式1：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，就可以肯定这四点共圆。

方式2：把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，以此就可以肯定这四个点共圆。

方式3：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以肯定这四点共圆。

方式4：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆。

在四边形ABCD中 ,作三角形ABC 的外接圆o 。

假设C点在圆外 ,连接AC,角圆o于C′，则∠C∠C′，∠C′+∠A=180°

因为这个原因∠C+∠A180°，与已知矛盾 。

假设C点在圆内 ,可证 明:

∠C+∠A180°，也与 已知矛盾 。

故此，C点一定在圆o上，即对角互补 四点共圆 。

1、四点共圆

假设同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，大多数情况下简称为“四点共圆”。

2、四点共圆的性质

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

（2）圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

3、四点共圆的判断

判断1：若被证共圆的点到某一定点的距离都相等，以此确定它们共圆。

判断2：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以证明这四点共圆。（基本上成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，既然如此那，这二点和线段二端点四点共圆）

判断3：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以证明这四点共圆。（基本上成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，既然如此那，这四点共圆）

判断4：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，就可以证明这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连接并延长成相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，就可以证明这四点共圆。（割线定理的逆定理）

1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，以此就可以肯定这四点共圆。

2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，就可以肯定这四点共圆。