线性运算什么意思，向量为什么是线式结构呢

线性运算是加法和数量乘法， 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算，如y=3x+5。

假设是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；假设是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。针对不一样线性运算大多数情况下有不一样的形式，它们满足交换律、结合律、分配律等。

因为向量是有方向性的。向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”。

向量加减运算的几何意义是平行四边形法则或三角形法则，数乘向量的几何意义是伸缩变换(同各或反向)。

向量：a+b=b+a 向量加法运算满足加法交换律。

向量加减运算的几何意义是平行四边形法则或三角形法则，数乘向量的几何意义是伸缩变换(同各或反向)。

向量：a+b=b+a 向量加法运算满足加法交换律。

线性运算是加法和数量乘法，针对不一样向量空间线性运算大多数情况下有不一样的形式，它们一定要满足交换律，结合律，数量加法的分配律，向量加法的分配律。

线性是指量与量当中按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。

从根源处上来讲就是指变量X增多△X，则变量Y增多 k△X，即增量当中成固定的比例关系。

假设是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；假设是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算

向量的数量积运算与线性运算有着实质的区别，前者运算结果为一个数量，而后者的运算结果为一个向量。

向量的线性运算涵盖向量的加法，减法和数乘三种，不管是哪一种运算，结果一个向量，例如加法的平行四边形法则，三角形法则等，后都是向量。

但是向量的数量积运算就明显不同了，按照向量数量积的定义，它等于两个向量的模及其夹角余弦值的乘积，结果肯定是一个数值。

例如5个向量组成的向量组线性有关，就说明这5个向量中有向量可以被其它向量线性表出，以后不管增多多少向量，所组成的向量组中也【一定】有（因为原来就有）向量能被其它向量线性表出，由《线性有关》的定义，这个《延长向量组》就线性有关。

设向量组a1 a2……as中有r个（r≤s）向量的部分组线性有关,不妨设a1 a2 as 线性有关.则存在不全为零的数k1,k2,kr使k1a1+k2a2+……+krar=0成立,因而存在一组不全为零的数k1,k2……kr,0……,0使k1a1+k2a2+……+krar+0·ar+1+……+0·as=0成立.故此，a1,a2……as线性有关

矩阵的行向量组和列向量组具有一样的秩，因为是方阵，行数和列数一样，一样的秩若小于行列数，则行列向量组都线性有关，一样的秩若等于行列数则无关