参数方程的二阶导数怎么求，参数函数的二阶求导公式

x=g(t)

y=h(t)

则一阶导数：dy/dx=h(t)/g(t)

二阶导数：d²y/dx²=d[h(t)/g(t)]/dx函数中唯有变量t，t当成中是变量

={d[h(t)/g(t)]/dt}*(dt/dx)

={d[h(t)/g(t)]/dt} / (dx/dt)

={d[h(t)/g(t)]/dt} / g(t)

用语言描述就是：d²y/dx²就是用一阶导数的结果对t求导，然后除以g(t)。

求y对x的二阶导数也还是可以当成是参数方程确定的函数的求导方式，因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，故此，

y对x的二阶导数 ＝ dy/dx对t的导数 ÷ x对t的导数

dy/dt＝1/(1+t^2)

dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)

故此dy/dx＝1/(1+t^2-2t)

d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2

故此

d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt

＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2 ÷ (1+t^2-2t)/(1+t^2)

＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3

参数方程二次求导：

1、由参数方程确定的函数的高阶导数的求法与一阶导数的求法差不多的，也还是当成是一个参数方程确定的函数的导数问题，参数方程是：dy/dx＝dy/dt÷dx/dtx＝x(t)。

把x当成变量，dy/dx当成因变量来求一阶导数，y(x)=dy/dx，y

1

/4

例如：已知x=log（1+t2），y=t-arctan（t），求d2y/dx2（求y有关x的二阶导数）。

2

/4

先计算y有关x的一阶导数，用Mathematica套公式。

3

/4

化简一下上式，二阶导数，实际上就是求y的一阶导数有关x的导数。

4

/4

在Mathematica里面套公式就可以

步骤1/3

已知有x和y都是有关t的参数方程，求y对x的二阶导数

步骤2/3

我们先来求一阶导数：

dy/dx=dy/dt *dt/dx= dy/dt / dx/dt, 故此，y对x的一阶导数就等于y对t的一阶导数除以x对t的一阶导数

说明：因为，y和x都是有关t的参数方程，故此，求dy/dx时，需中间增多了dt作为桥梁，让y和x对t求导。

步骤3/3

再来求二阶导数：把对x求导转化为对t求导

二阶求导就是把上个步骤我们得出来的一阶导数再次求导，但要记住是对x参数求导，而一阶导数其实也还是是有关t的方程。故此，需和求一阶导数过程一样的，再次增多dt为桥梁，就变成了一阶导数对t求导再除以x对t求导。如图看过程，主要是红框中增多dt为桥梁的转换，后面就是正常的求导了。

dx、dy表示微分，当然可以拆开，针对参数方程，x=f(t)，y=g(t)，针对参数方程，先求微分：dx=f(t)dt，dy=g(t)dt，dy/dx=g(t)/f(t)，而假设先消去参数，t=fˉ¹(x)，y=g(fˉ¹(x)

)dy/dx=g(fˉ¹(x))*fˉ¹(x)=g(fˉ¹(x))/f(t)=g(t)/f(t)是一样的。而二阶导数，注意是d²y/dx²是什么意思呢？就是这里要把dy/dx看成是新的“y”，x还是等于f(t)，故此，应该这样：d(dy/dx)=[g(t)/f(t)

]dt=[g(t)f(t)-g(t)f(t)]/f(t)² dtdx=f(t)dtd²y/dx²=d(dy/dx)/dx=[g(t)f(t)-g(t)f(t)]/f(t)³

先把整体当做一个变量，再降整体求导。

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。



公式

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

求二阶偏导数的方式

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假设函数f(x,y)在域D的每一点都可以导，既然如此那，称函数f(x,y)在域D可导。

这个时候，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数有关一个自变量求偏导数时，就故将他余的自变量看成常数，这个时候他的求导方式与一元函数导数的求法差不多的。

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，对应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

假设△z与△x之比当△x→0时的极限存在，既然如此那，此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作fx(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。同样，把x固定在x0，让y有增量△y，假设极限存在既然如此那，此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作fy(x0,y0)。

性质

(1)假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，针对区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，假设总有f(x)0成立，既然如此那，上式的不等号反向。

几何的直观解释：假设一个函数f(x)在某个区间I上有f(x)(即二阶导数)0恒成立，既然如此那，在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点当中的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

(2)判断函数非常大值还有极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为非常大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

(3)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

1.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

2.若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

详细回答请看下方具体内容：

设：u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n

∂u/∂x = amx^(m-1) + by

∂^2u/∂x^2 = am(m-1)x^(m-2)

∂^2u/∂x∂y = b

∂u/∂y = bx + cny^(n-1)

∂^2u/∂y^2 = cn(n-1)y^(n-2)

若求u(x,y)的微分：

du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy

= [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy

可导函数的意义：

假设函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），既然如此那，函数在这一区间内枯燥乏味递增（或枯燥乏味递减），这样的区间也称为函数的枯燥乏味区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这种类型点上函数可能会获取非常大值或极小值（即极值可疑点）。

进一步判断还需清楚导函数在附近的符号。针对满足的一点，假设存在让在以前区间上都大于等于零，而在后面区间上都小于等于零，既然如此那，是一个非常大值点，反之则为极小值点。

y''=d(dy/dx)/dx=[d(dy/dx)/dt]*(dt/dx)

因变量由y换作dy/dx，自变量还是x，故此，

y对x的二阶导数＝dy/dx对t的导数÷x对t的导数 dy/dt＝1/(1+t^2) dx/dt＝1－2t/(1+t^2)＝(1+t^2-2t)/(1+t^2)

dy/dx＝1/(1+t^2-2t) d(dy/dx)/dt＝[1/(1+t^2-2t)]'＝－(2t-2)/(1+t^2-2t))^2

d2y/dx2＝d(dy/dx)/dt÷dx/dt＝-(2t-2)/(1+t^2-2t))^2÷(1+t^2-2t)/(1+t^2) ＝(2-2t)(1+t^2)/(1+t^2-2t)^3