分块行列式的计算公式，用两种方法求分块矩阵的逆矩阵

分块行列式的计算公式？

可以表示为：|A B||C D| = |A|·|D-B·C|这当中，A、B、C、D分别是n阶分块矩阵，|A|表示A的行列式的值。该公式的推导根据行列式的性质，即行列式相邻行或列相减其值不变。需要大家特别注意的是，此公式的前提是B、C为可逆方阵，不然该公式不适用。此外分块技巧可用于简化行列式的计算，增多计算效率。除了该公式，还有诸如按行或列展开的余子式公式、克拉默公式等可用于计算行列式。行列式作为矩阵运算中的一种，有着广泛的应用，在线性代数、微积分等学科中都拥有重要作用，学习和掌握并熟悉行列式的计算方式针对加强数学思维和应用能力具有重要意义。

分块行列式是将一个大的行列式分成哪些小的行列式，以此更方便地计算行列式值的方式。一般分块行列式的计算可以遵守以下公式：设 $A$ 是 $n$ 级矩阵，则有：

$$|A|=\\left|\\begin{matrix}A_{11}A_{12}\\\\\extbf{0}A_{22}\\end{matrix}\☆ight|=|A_{11}|\\cdot|A_{22}|\\qquad\ext{(第一种情况)}$$

或者：

$$|A|=\\left|\\begin{matrix}A_{11}\extbf{0}\\\\\extbf{0}A_{22}\\end{matrix}\☆ight|=|A_{11}|\\cdot|A_{22}|\\qquad\ext{(第二种情况)}$$

这当中，$A_{11}$ 和 $A_{22}$ 分别表示矩阵 $A$ 的左上角和右下角分块矩阵。假设分块矩阵的大小不完全一样，可以用零矩阵来填充，让 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 的大小完全一样。

需要大家特别注意的是，这个公式只适用于分块矩阵中某些行或某些列全为零的情况。假设不是这样的情况，既然如此那，分块行列式的计算需用到更复杂的方式。

分块矩阵行列式这个计算公式可以请看下方具体内容证明:

1、行列式的Laplace定理：设D是n阶行列式，在D中选定k行，1=k=n-1，由这k行元素组成的我们全体k阶子式记为M1，M2，......，Mt，且Mi的代数余子式为Ai，1=i=t。

2、则：D = M1*A1+M2*A2+......+Mt*At。针对矩阵P=[A C;0 B]，A是s阶方阵，选定P的前s行，这s行元素组成的我们全体s阶子式中不为0的就是det(A)。

3、因为这个原因P的行列式就是det(A)乘以A的代数余子式，其代数余子式就是det(B)。故此，有： det(P) = det(A)*det(B).

用两种方式求分块矩阵？

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

　　由可逆矩阵的定义就可以清楚的知道，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因为这个原因（AT）-1=（A-1）T。

　　性质：

　　（1）同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的`分块矩阵。

　　（2） 数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。

　　（3） 分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。

　　（4） 分块上（下）三角形矩阵对应的行列式。

分块矩阵的逆矩阵公式？

大多数情况下的分块矩阵的逆没有公式 对特殊的分块矩阵有: diag(A1,A2,...,Ak)^-1 = diag(A1^-1,A2^-1,...,Ak^-1). 斜对角形式的分块矩阵如: 0 A B 0 的逆 = 0 B^-1 A^-1 0 可推广. A B 0 D 的逆 = A^-1 -A^-1BD^-1 0 D^-1 A 0 C D 的逆 = A^-1 0 D^-1CA^-1 D^-1

分块矩阵转置公式？

对分块矩阵整体求转置，对里面的每一个块求转置

（-A逆C)T＝-CT A逆的转置

因为A是m阶对称矩阵，故此，A逆的转置是A逆

故 （-A逆C)T＝-CT A逆

对矩阵进行一定程度上分块，能够让高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，以此可以大大简化运算，或给矩阵的理论推导带来方便。有很多数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。

扩展资料：

若矩阵A经过有限次的初等行变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B行等价；若矩阵A经过有限次的初等列变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B列等价；若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

矩阵等价性质：

（1）反身性 A~A;

（2）对称性 若A~B，则B~A；

（3）传递性 若A~B，B~C，则A~C