样本均方差公式，什么是样本方差

设m是平均值，n是样本数量则方差S^2=[(m-x1)^2+(m-x2)^2+……+(m-xn)^2]/n。

先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

样本方差的理解

n-1的使用称为贝塞尔校正，也用于样本协方差和样本标准偏差（方差平方根）。 平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。

标准偏差的无偏估计是技术上的问题，对于使用术语n-1.5的正态分布，形成无偏估计。无偏样本方差是函数（y1，y2）=（y1-y2）2/2的U统计量，这意味着它是通过对群体的两个样本统计平均得到的。

先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。

样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。

均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

中文名

样本方差

外文名

sample Variance

学科

概率论

表示

一列数的变异程度

应用

人口差异的统计

1.研究某随机变量的方差，有无穷多个样本，可以通过抽取一个样本集，以它的方差作为该随机变量方差的估计。

当该样本集的样本数N趋于正无穷时，可以证明除以N－1才是无偏的，即收敛于该随机变量的方差；除以N是有偏的。

因此采用无偏估计时除以N-1,而不是除以N。

2.仅研究某样本集内样本数据的分散情况，除以N即可，这是方差原始的定义。

方差是针对总体的。样本方差针对样本。一个总体可以有无数个样本。

N-1算出来的是无偏的，通过样本方差估算总体的方差。

样本方差的期望等于总体方差

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1，X2，...，Xn，其样本均值为Y = (X1+X2+...+Xn)/n

其样本方差为S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ... + (Y-Xn)^2 ) / (n-1)

为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A

则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))

=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )

注意 EX1 = EX2 = ... = EXn = EY = EX;

VarX1 = VarX2 = ... = VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2

VarY = VarX / n (这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）

所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)

标准差的平方就是方差

若x1,x2,x3......xn的平均数为m

则方差s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2]

标准差s=√1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2]

在已知标准差的情况下，方差=标准差*标准差=标准差的平方。

（1）计算平均值：

(2 + 3 + 4 + 5+ 6 + 8)/6 = 30 /6 = 5

（2）计算方差：

(2 – 5)^2 = (-3)^2= 9

(3 – 5)^2 = (-2)^2= 4

(4 – 5)^2 = (-1)^2= 0

(5 – 5)^2 = 0^2= 0

(6 – 5)^2 = 1^2= 1

(8 – 5)^2 = 3^2= 9

（3）计算平均方差：

(9 + 4 + 0 + 0+ 1 + 9)/6 = 24/6 = 4

（4）计算标准差：

√4 = 2

统计学意义

当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

1、方差公式：S^2=〈(M－x1)^2+(M－x2)^2+(M－x3)^2+…+(M－xn)^2〉╱n平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n （n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

2、标准差是方差开方后的结果(即方差的算术平方根) 假设这组数据的平均值是m 3、数学期望：E（X）=Xi*Pi （i=1，2，3.....） X有几个值 i就取1到几

样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差.样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大.数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度,称为X的方差.定义设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX.即D(X)=E{[X-E(X)]^2},而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差.由方差的定义可以得到以下常用计算公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）

.（1）设c是常数,则D(c)=0.（2）设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=(c^2)D(X)

.（3）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

.（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c.