数与形结合规律的公式，六年级数学广角数与形的公式?

具体地说，先试试累加或累乘，再试试递推，不行就看看是不是诸如 a^x+b 之类的，一般竞赛也就这个难度

每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42　　得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。

从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即n×（n+1）。

（总脚数-鸡脚数*头）/（兔脚-鸡脚）=兔数

（兔脚数*头-总脚数）/（兔脚-鸡脚）=鸡数

扇形公式

在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：

比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：

C=2R+nπR÷180

=2×1+135×3.14×1÷180

=2+2.355

=4.355(cm)=43.55(mm)

扇形的面积：

S=nπR^2÷360

=135×3.14×1×1÷360

=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形还有另一个面积公式

其中l为弧长，R为半径 [1]

扇环面积

圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))

圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)

用字母表示：

S内+S外（πR方）

S外—S内=π(R方-r方）

还有第二种方法：

S=π[(R-r)×(R+r)]

R=大圆半径

r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径

还有一种方法：

已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

d=R-r，

D-d=2R-（R-r）=R+r，

可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，

圆环面积S=π(D-d)×d

这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。

三角形公式

海伦公式

任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

证明： 证一 勾股定理

分析：先从三角形基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz [3]

坐标公式

1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则

S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2. [4]

圆公式

设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .

则 面积 S= π·r^2 ; π 表示圆周率

即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方

弓形公式

设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：

当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）

计算公式分别是：

S=nπR^2÷360－ah÷2

S=πR^2/2

S=nπR^2÷360+ah÷2

椭圆公式

椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

椭圆面积公式应用实例

椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）

菱形公式

定理简述及证明

菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

菱形的面积也可=底乘高

抛物线弓形面积公式

抛物线弦长公式及应用

本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.

抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：

抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为

∣AB∣= ①

证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.

∣y1－y2∣==2,

∴∣AB∣=∣y1－y2|=

当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

于是得出下面推论:

推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦

AB的长度为

∣AB∣=P(1+k2) ②

在①中,由容易得出下面推论:

推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px

Ⅰ)当P2bk时,l与C交于两点(相交);

Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);

Ⅲ)当P2bk时,l与C无交点(相离).

定理应用

下面介绍定理及推论的一些应用:

例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?

分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,

即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.

例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的短距离.

分析:可求与已知直线平行并和曲

线相切的直线,二直线间距离即为要求的短距离.

解 曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方

程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.

故所求短距离为.

例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.

解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1

(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.

注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.

例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.

解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,

|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.

例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,

已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.

常见的面积定理

1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；

2． 两个全等图形的面积相等；

3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；

4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；

5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；

6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；

7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分

1、频率=频数/总数*100%

2、频数（Frequency），又称“次数”。指 变量值中代表某种特征的数（标志值）出现的次数。按分组依次排列的频数构成频数 数列，用来说明各组标志值对全体标志值所起作用的强度。各组频数的总和等于总体的全部单位zd数。频数的表示方法，既可以用表的形式，也可以用图形的形式。

3、组距分组是将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一组。组距分组是 数值型数据分组的基本形式。

4、在 组距分组中，各组之间的取值界限称为 组限，一个组的小值称为下限，版大值称为上限；上限与下限的差值称为组距；上限与下限值的平均数称为 组中值，它是一组变量值的代表权值。

把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。

为了 统计分析的需要，有时需要观察某一数值以下或某一数值以上的 频数或 频率之和，还可以计算出累积频数或 累积频率。

爱

杂化轨道数的计算公式：

公式：（中心原子电子数+氢原子个数+卤素原子个数-氮原子个数）/2得杂化轨道数，2是sp，3是sp²，4是sp³，5是sp³d，6是sp³d²。

SO2(6+2-2)/2=3。

杂化轨道理论（Hybrid Orbital Theory）是1931年由鲍林（Pauling L）等人在价键理论的基础上提出，它实质上仍属于现代价键理论，但是它在成键能力、分子的空间构型等方面丰富和发展了现代价键理论

在成键过程中，由于原子间的相互影响，同一原子中几个能量相近的不同类型的原子轨道（即波函数），可以进行线性组合，重新分配能量和确定空间方向，组成数目相等的新的原子轨道。

这种轨道重新组合的过程称为杂化（hybridization），杂化后形成的新轨道称为 杂化轨道（hybrid orbital）。杂化，是原子形成分子过程中的理论解释，具体有sp（如BeCl2）、sp2（如BF3）、sp3（如CH4）、sp3d（如PCl5）、sp3d2（如SF6） 杂化等等。

公式：

（中心原子电子数+氢原子个数+卤素原子个数-氮原子个数）/2得杂化轨道数，2是sp，3是sp²，4是sp³，5是sp³d，6是sp³d²。

例：H₃COF，中心原子是C，（4+3+1）/2=4，是sp³杂化。H₂PO₃⁻，中心原子是P，（5+2+1）/2=4，是sp³杂化。HOCN，以C为中心原子，C的杂化，（4+1-1）/2=2，是sp杂化。SOF₄，以S为中心原子，（6+4）/2=5，是sp³d杂化。

杂化轨道的角度函数在某个方向的值比杂化前的大得多，更有利于原子轨道间大程度地重叠，因而杂化轨道比原来轨道的成键能力强（轨道是在杂化之后再成键）。

扩展资料：

同一原子中能量相近的n 个原子轨道，组合后只能得到n个杂化轨道。例如，同一原子的一个ns 轨道和一个npx轨道，只能杂化成两个sp杂化轨道。这两个sp杂化轨道的形状一样，但其角度分布大值在x轴上的取向相反。

杂化轨道比原来未杂化的轨道成键能力强，形成的化学键键能大，使生成的分子更稳定。 由于成键原子轨道杂化后，轨道角度分布图的形 状发生了变化，形成的杂化轨道一头大一头小。大的一头与别的原子成键时电子云可以得到更大程度的重叠 ，所以形成的化学键比较牢固。

ns轨道，np轨道，nd轨道一起参与杂化称为s－p－d型杂化，主要有以下几种类型：

sp³d杂化：由一个ns、三个np轨道和一个nd轨道杂化形成五个能量等同的sp³d杂化轨道。每个sp³d轨道都含有1/5个s、3/5个p和1/5个d成分。构型为三角双锥。

sp³d²杂化：由一个ns、三个np轨道和二个nd轨道杂化形成六个能量等同的sp³d²杂化轨道。每个sp³d²轨道都含有1/6个s、1/2个p和1/3个d成分。构型为八面体。

此外还有以内层的（n－1）d轨道，ns轨道，np轨道一起参与的杂化方式，它主要存在于过渡金属配位化合物中，例如d³sp³杂化、d²sp³杂化等。

勾股定理的公式为a²+b²=c²，在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么则可以用勾股定理来表达。

　　勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

　　勾股定理的证明是论证几何的发端，这个定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即勾股定理是第一个把几何与代数联系起来的定理，是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

如果你是那个勾，我便是你的股，当我们头对头，并且相互垂恋时，我们的心弦就会变成同一条直线，彼此再也不分离。

基因频率的计算公式是：(比如要计算A基因频率)，分子是A基因的个数，分母是A基因和a基因的个数之和，再剩以百分之百。

基因型频率的计算公式：(比如要计算AA的频率)，分子是种群中基因型为AA的个体数，分母是种群的个体数，再乘以百分之百。

两者之间有内在联系，可以通过基因型频率计算出基因频率。

基因频率：指的是某种基因在种群中出现的比例。基因型频率：指的某种基因型的个体在种群中出现的比例。

一个指基因，一个指个体。种群中基因频率和基因型频率可以相互转化。利于计算。

①已知基因型的个体数，计算基因频率：

某基因频率＝该基因总数/该基因及其等位基因的总数X100%。

②已知基因型频率求基因频率：

一个等位基因的频率＝该等位基因纯合子的频率＋1/2X杂合子的频率。

基因频率,基因型频率计算公式1、根据概念求基因频率和基因型频率　　　　　　A基因的总数　　P（A）＝－－－－－－－－－－－－　　　　　A基因总数＋a基因总数　　　　　　　　　AA基因型的个体数AA基因型频率＝－－－－－－－－－－－－　　　　　　　　该二倍体种群个体总数2、已知基因型频率求基因频率一个等位基因的频率＝该等位基因纯合子的频率＋1/2杂合子的频率。在种群中一对等位基因的频率之和等于1，基因型频率之和也等于1。3、已知基因频率求基因型频率在一个自由交配的种群中，基因A、a的频率分别为P（A）、P（a），则基因型AA、Aa、aa的频率为：P（AA）＝P（A）2，P（aa）=P(a)2，P（Aa）=2P(A)×P（a）

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：＋=＋(交换律);+(+c)=(+)+c（结合律）;+0=＋(－)=0.1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

(1)｜｜=｜｜?｜｜

;(2)当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0．(3)若=（），则?=（）．两个向量共线的充要条件：

(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=．(2)若=（）,b=（）则‖b．平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2．2．P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。

当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0；分点坐标公式：3．向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

（2）．两个向量的数量积：

（3）．向量的数量积的性质：

(4)．向量的数量积的运算律：4.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。