组合方式计算公式，排列组合 计算公式

是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(m,n) 表示。

公式如下图所示

组合公式的推导是由排列公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n各不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有个选择，以此类推第m个位置可以有个选择，则排列数为，而组合公式对应另一个模型，取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列）,组合的总数就是。

组合计算公式：c（n，m）=c（n-1，m-1）+c（n-1，m）。

等式左边表示从n个元素中选取m个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择n中的某个备选元素为特殊元素，从n中选m个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即m个被选择元素包含了特殊元素和m个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从n-1个元素中选出m-1个元素的组合，即c（n-1，m-1）；后者相当于从n-1个元素中选出m个元素的组合，即c（n-1，m）。

c（n，0）+c（n，1）+c（n，2）+……+c（n，n）=2的n次方。

排列组合是组合学基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

高中数学排列组合公式

1排列组合定义

从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。

2排列组合公式

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!

C-Combination 组合数

A-Arrangement 排列数

n-元素的总个数

m-参与选择的元素个数

!-阶乘

3排列组合基本计数原理

加法原理与分布计数法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

乘法原理与分布计数法

1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

1~9排列组合公式为9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880

排列组合a66=6×5×4×3×2×1=720。

类计数原理：做一件事，有nn类办法，在第11类办法中有m1m1种不同的方法，在第22类办法中有m2m2种不同的方法，…，在第nn类办法中有mnmn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mnN=m1+m2+…+mn种不同的方法。

分步计数原理：完成一件事，需要分成nn个步骤，做第11步有m1m1种不同的方法，做第22步有m2m2种不同的方法，…，做第nn步有mnmn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mnN=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。

区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题#

排列数#

从nn个不同元素种取出m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从nn个不同元素种取出mm个元素的排列数，用符号AmnAnm表示。

排列数公式#

Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

（规定0!=10!=1）

推导：把nn个不同的元素任选mm个排序，按计数原理分步进行：

取第一个：有nn种取法；

取第二个：有(n−1)(n−1)种取法；

取第三个：有(n−2)(n−2)种取法；

……

取第mm个：有(n−m+1)(n−m+1)种取法；

根据分步乘法原理，得出上述公式。

排列数性质#

Amn=nAm−1n−1Anm=nAn−1m−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。

Amn=mAm−1n−1+Amn−1Anm=mAn−1m−1+An−1m 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1mAn−1m−1，不含特定元素的排列为Amn−1An−1m。

组合问题#

组合数#

从nn个不同元素种取出m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从nn个不同元素种取出mm个元素的组合数，用符号CmnCnm表示。

组合数公式#

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n

C0n=Cnn=1

Cn0=Cnn=1

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题AmnAnm分解为两个步骤：

第一步，就是从nn个球中抽mm个出来，先不排序，此即组合数问题CmnCnm；

第二步，则是把这mm个被抽出来的球排序，即全排列AmmAmm。

根据乘法原理，Amn=CmnAmmAnm=CnmAmm，那么

Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!

设

n个元素的排列数为 x

m个元素的排列数为 y

n个元素排列中、有m个元素定序的排列数为 z

根据乘法原理,x = z * y.

因为,求 n 个元素的排列（x）,

可以先确定 n-m 个元素的排列（z）,

再确定剩下 m 个元素的排列（y）

两者相乘,得 z * y = x.

因为 x = A(n,n),y = A(m,m),

所以 z = x/y = A(n,n) / A(m,m)

排列和组合不但意义不同，在二者的计算方法上也有本质的不同。下面，我们可以通过以下两个例题认真比较一下二者在计算方法上的区别。例题一，排列的具体计算方法。p64=6x5X4x3=360。例题二，组合的具体计算方法，C64=6x5Ⅹ4x3÷4！=15。由于C64=C62，故C64=c62=6x5÷2！=15。

排列及计算公式。 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示。

组合及计算公式。 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 用符号。

其他排列与组合公式。