曲率半径如何计算，高等数学曲率公式推导

曲率半径

数学术语

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。对于表面，曲率半径是适合正常截面或其组合的圆的半径。

基本信息

中文名

曲率半径

外文名

radius of curvature

定义

曲率的倒数

简介

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径，或记曲率半径为∞。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

公式推导

在空间曲线的情况下，曲率半径是曲率向量的长度。在平面曲线的情况下，则R要取绝对值。

其中s是曲线上固定点的弧长，φ是切向角，κ是曲率。

如果曲线以笛卡尔坐标表示为，则曲率半径为（假设曲线可微分）

如果曲线由函数 和 参数给出，则曲率半径为

实际上，这个结果可以解释为

这里。

如果 是 中的参数曲线，则曲线各点处的曲率半径 由下式给出：

作为特殊情况，如果f（t）是从R到R的函数，则其图的曲率半径γ（t）=（t，f（t））是

举例

半圆圈

对于上半平面半径a的半圆：

对于上半平面半径a的半圆：

半径a的圆的曲率半径等于a。

椭圆

在具有长轴2a和短轴2b的椭圆中，长轴上的顶点具有任何点的小曲率半径， ；

并且短轴上的顶点具有任何点的大曲率半径。

应用

（1）对于差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程；

（2）对于地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见地球的曲率半径；

（3）曲率半径也用于梁的弯曲三部分方程中；

（4）曲率半径（光学）。

（5）半导体结构中的应力：

涉及蒸发薄膜的半导体结构中的应力通常来自制造过程中的热膨胀（热应力）。发生热应力是因为膜沉积通常在室温以上。在从沉积温度冷却至室温时，基板和膜的热膨胀系数的差异引起热应力。

当原子沉积在基底上时，由薄膜中形成的微观结构引起固有应力。由于原子穿过空隙有吸引力的相互作用，薄膜中的微孔产生拉伸应力。

薄膜半导体结构中的应力导致晶片的翘曲。应力结构的曲率半径与结构中的应力张量有关，可以用修正的Stoney公式来描述。可以使用光学扫描仪测量包括曲率半径的应力结构的形貌。现代扫描仪工具具有测量基板全貌和测量两个主曲率半径的能力，同时为90米及以上的曲率半径提供0.1%的精度。

高数曲率公式是k=|y|/(1+y²)^(3/2)。曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。 对于表面，曲率半径是适合正常截面或其组合的圆的半径。圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

由弯曲变形的基本公式：1/r=M(x)/(EI) 其中r为挠曲线的曲率半径。

用曲率半径(k)＝rb乘以tan a(k)推也行，分度圆上啮合角等于压力角，曲率半径就等于rsina。具体公式：

1、公式1: D( 外径)=(Z+2)*m(模数), Z为齿数。

2、公式2: H=2.25m H为齿高。详细讲解：1、所以先量出齿高, 根据公式2计算出模数. (注意模数为系列标准值, 1, 1.5, 2 等等,所以要圆整为标准值。2、再测量出外径, 就可根据公式1计算出齿数了。

3、标准齿轮安装时，两个齿轮分度圆是相切的，所以R1+R2=A ，R1小齿轮分度圆半径，R2大齿轮分度圆半径，A中心距。齿数比等于分度圆半径比。

4、这样就可以分别算出R1、R2。再转化成齿轮分度圆直径，分别为D1、D2。后，根据D=m*z ，计算出两个齿轮的齿数。

曲率半径即R=1/K，曲率半径(k)＝rb乘以tan a(k)计算即可，分度圆上啮合角等于压力角，曲率半径就等于rsina。

曲率的倒数就是曲率半径。 曲线的曲率。平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。 K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义k就是曲率。

曲率的倒数就是曲率半径。ρ=1/k=[(1+y'^2)^(3/2)]/∣y"∣

简单地理解，在曲线上一点附近与之重合的圆弧的大半径。也可以理解为在曲线上一点附近与之相切（凹侧内切）的圆弧的大半径（也可以等价地认为是凸侧外切的圆弧的小半径，这一表述方式很少有）。

曲率半径的倒数（1/R）称为曲率。两点说明：

一是要光滑曲线才存在曲率半径，不光滑的曲线不存在，不如锯齿形曲线在拐角处就找不到这样的圆弧（此种情况把曲率半径定义为0）；

（而且只考虑考察点附近很小一段，不是考虑曲线整体，所以这是是局部性质，除圆（弧）外，一般的曲线上各个点的曲率半径可能不同，不如抛物线，椭圆、双曲线等）。

二是重合的圆弧不唯一，可能有很多个，取半径大的那一个。

比如直线，如何一点都可以找到无数个圆弧与之重合，其曲率半径定义为无穷大（∞），曲率为0（不弯曲）。

对于圆弧上每一点，与之相切的圆弧也有很多，凹侧大的内切圆弧就是其自身，其曲率半径就是圆弧的半径）。以上是物理老师常用的解释方法，对高一的同学来说应该可以了。

如果要用严谨的表述，可以参见樊映川等编《高等数学讲义》（高等教育出版社）。（叙述文字太多，又涉及到极限的定义，不便录入，而且高一同学也不好理解，可以等高二学了极限概念再看）

曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。 在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线，它等于接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面，曲率半径是适合正常截面或其组合的圆的半径。

用曲率半径(k)＝rb乘以tan a(k)推也行，分度圆上啮合角等于压力角，曲率半径就等于rsina。 具体公式：

1、公式1: D( 外径)=(Z+2)*m(模数), Z为齿数。

2、公式2: H=2.25m H为齿高。 详细讲解： 1、所以先量出齿高, 根据公式2计算出模数. (注意模数为系列标准值, 1, 1.5, 2 等等,所以要圆整为标准值。 2、再测量出外径, 就可根据公式1计算出齿数了。

3、标准齿轮安装时，两个齿轮分度圆是相切的，所以R1+R2=A ，R1小齿轮分度圆半径，R2大齿轮分度圆半径，A中心距。齿数比等于分度圆半径比。

4、这样就可以分别算出R1、R2。再转化成齿轮分度圆直径，分别为D1、D2。后，根据D=m*z ，计算出两个齿轮的齿数。

首先，根据几何关系，分别计算出A、B、C、D、E各点，到齿轮圆心的距离，即半径rk（例如，E点半径就是齿轮齿顶圆半径；C点半径就是齿轮节圆半径；其它的半径，可以通过已知关系计算）；渐开线齿廓上任意点的曲率半径等于 （（rk）^2 - （rb）^2 ）^0.5；曲率等于曲率半径的倒数。其中rb是齿轮基圆半径。