二阶递归数列通项公式推导过程，数列的递归
二阶递归数列通项公式推导过程？
探求二阶递归数列的通项公式的经常会用到方式是:猜想-归纳-数学归纳法证明,这样的方式的优点是解题思路自然直观,但缺点是运算量很大,有的时候，规律不易发现,下面探求用特殊方式求二阶递归数列的通项公式。
一、递推式为X_(n+1)=aXn+b,a,b都是常数,a≠0,1,x_1(已知)。
递归数列四大定理？
递归数列
递归数列（recursive sequence ）：一种给定A1后，用给定递归公式An+1=f(An)由前项定义后项所得到的数列。
基本信息
外文名recursive sequence
定义
给定，由递归公式 由前项定义后项所得到的数列 称为递归定义数列，简称为递归数列（recursive sequence ）。
等差数列
若递归函数为，既然如此那，给定 后，由递归公式 定义出来的数列 是等差数列，容易得出其通项公式为。
等比数列
若递归函数为，既然如此那，给定，由递归公式 定义出来的数列 是等比数列，容易得出其通项公式为。
一阶线性递归数列
等差数列、等比数列对应的特殊的递归函数、 ，比这些稍复杂一点的是普通的一元线性函数 定义的递归数列。
若递归函数为一元线性函数，既然如此那，由递归公式，即 定义的数列 称为一阶线性递归数列，在给定 后，如何得出定义出来的一阶线性递归数列的通项呢？大多数情况下有两种做法：
（1）我们可以将 拆项相凑改写为，若记，这个问题就成为了递归等比数列的递归模式 了。由，即，可得。
递归数列
递归数列
（2）也可在猜测 后，通过还未确定系数法得出 和，再用数学归纳法证明。
例题一给定，求由一阶线性递归公式 定义的数列的通项。
解法1将 改写为，明显应该取，记，
则有， 。故此后可得
解法2猜测，由， ，通过还未确定系数法得出，即。下面用数学归纳法证明。
递归数列
初始验证：时， ，满足通项公式。
通项假定：设 时结论成立，即，
渐进递推： ，即 时结论也成立。
故此， 确为所求之通项公式。
非线性递归
有不少很有趣的数学问题可以归结为递归数列，但其对应的递归函数未必都是线性函数，在研终收敛性时也未必要把通项得出来。
例题一已知， ， ，试证明由此递归定义的数列 收敛，并求其极限。
解利用数学归纳法可以证明数列枯燥乏味增多，其实，设，既然如此那，。
再利用数学归纳法可以证明数列有上界，其实，设，既然如此那，。
按照枯燥乏味有界数列必收敛，可设，且必有，
递归数列
以此由 可得，得唯一正数解，即。
例题二已知， ， ，试证明由此递归定义的数列 收敛，并求其极限。
解利用数学归纳法可以证明数列子数列 枯燥乏味减少有下界0，有。
利用数学归纳法可以证明数列子数列 枯燥乏味增多有上界1，有。
故此，。
一阶线性差分方程
一阶线性递归数列的递归关系式，对应了一个一阶线性非齐次差分方程，一阶线性非齐次差分方程的解法实质上就是反映了求一阶线性递归数列通项的方式。
二阶线性齐次递归数列
例题三设x1=3，x2=7，x(n+2)=5x(n+1)-6Xn，求数列 的通项。
解将递归定义式改写为，就可以清楚的知道数列 是以3为公比的等比数列，由此可求得，
再改写为，就可以清楚的知道数列 是等比数列，由此可求得。
后可得数列通项为。
本例解法具有较普遍一类问题具有典型意义及推广价值。
例题四（斐波那契数列）设F1=1，F2=1，F(n+2)=F(n+1)+Fn ，求数列{Fn} 的通项。
分析与解斐波那契数列是一个很典型的二阶递归数列，这种类型二阶线性齐次递归数列问题的解法，可由本词规定3的解法得到启发，若方程（特点方程）有两个不相等的实数解（特点根） ，则由二阶线性齐次式F(n+2)+pF(n+1)+qFn=0递归定义数列的通项为，这当中还未确定常数 由给定的两个初始项确定。
这里斐波那契数列对应的特点方程为，特点根为。故此，可得
，按照，可确定出，即
递归数列极限
设 区间I，若f(x)在区间I枯燥乏味上升，aa（aa） ，则数列{a}枯燥乏味上升（枯燥乏味下降）；若f(x)在区间I枯燥乏味下降，则数列{a}不具枯燥乏味性。
证：设f(x)在区间I枯燥乏味上升，由aa得到f(a)f(a) ，即aa。若aa ，则f(a)f(a) ，即aa。因为这个原因针对 有aa ，即数列{a}枯燥乏味上升。当aa 时同样可证数列{a}枯燥乏味下降。另一结论类似可证。
2 3 5 9的通项公式？
求通项的题你不管三七二十一就先算一下相邻项的差看是否有规律,大多数情况下都是有规律的,在这里就是：1,2,4,8,16,...这不就是等比数列么,故此，你可以写出递归关系式：a(n+1) - a(n) = 2^(n-1) n = 1,2,...然后a(n) = [a(n) - a(n-1)] + [a(n-1) - a(n-2)] + .+ [a(2) - a(1)] + a(1)= [2^(n-2) + 2^(n-3) + ...+ 1] + 2（ 中括号内是等比数列,下面用等比求和公式,注意该等比数列共有n-1项在求和）= 1*(2^(n-1)-1) / (2-1) + 2= 2^(n-1) + 1
