初中数学因式分解公式全整理，因式分解解方程的方法与技巧

因式分解是指把一个多项式变为哪些整式的积的形式，初中经常会用到的因式分解的方式有：

1.提取公因式法，如：ax＋bx＝x（a＋b） 2.公式法，a平方-b平方＝（a＋b）（a-b），a平方±2ab＋b平方＝（a±b）平方 3.十字相乘法，x平方-（a＋b）x＋ab＝（x-a）（x-b）

可以用十字相乘法，公式法来因式分解，后解方程

因式分解公式： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。 例子：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²

a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数

给你另一条加法的公式：

a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(n-2)*a*b^(n-2)+(-1)^(n-1)*b^(n-1)],n是奇数

因式分解12种方式

因式分解的十二种方式把一个多项式化成哪些整式的积的形式,这样的变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方式各种多样,现下面的具体内容为本章详细总结：

方式

1

提公因法假设一个多项式的各项都含有公因式,既然如此那，完全就能够把这个公因式提出来,以此将多项式化成两个因式乘积的形式.例题一、 分解因式x -2x -x(2023淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)

2

应用公式法因为分解因式与整式乘法有着互逆的关系,假设把乘法公式反过来,既然如此那，完全就能够用来把某些多项式分解因式.例题二、分解因式a +4ab+4b (2023南通市中考题)a +4ab+4b =（a+2b）

3

分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,以此得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,以此得到(a+b)(m+n)例题三、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)

4

十字相乘法针对mx +px+q形式的多项式,假设a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例题四、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5

配方式针对那些不可以利用公式法的多项式,有的能用到故将他配成一个完全平方法,然后再利用平方差公式,就可以故将他因式分解.例题五、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)

6

拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例题六、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)

7

换元法有的时候，在分解因式时,可以选择多项式中的一样的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,后再转换回来.例题七、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)

8

求根法令多项式f(x)=0,得出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例题八、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法就可以清楚的知道,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9

图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例题九、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例题一0、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,故将他按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)

10

利用特殊值法将2或10代入x,得出数P,将数P分解质因数,将质因数一定程度上的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例题一1、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中高项的系数为1,而3、5、7分别是x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

11

还未确定系数法第一判断出分解因式的形式,然后设出对应整式的字母系数,得出字母系数,以此把多项式因式分解.例题一2、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只可以分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd故此， 解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)