等差数列前n项和性质，等比数列前n项和的性质及其推导过程

等差数列前n项和性质？

等差数列前n项和的通项公式为Sn=(2a1+d.(n-1))×n÷2。这当中d为公差，a1为第一项。性质请看下方具体内容，第n项和减去第n-1项和等于数列的第n项。且等差数列公差不变，易于求值。

等差数列前n项和的性质及其推导过程？

性质：假设等差数列的前n项公式是

Sn=1/2(a1+an)•n，

则S2n-1=an

证明，等差数列的和是第1项与第n的和乘以n除以2，故此，等差数列前奇数项的和是

S2n-1=1/2(a1+a2n-1)(2n-1)。又an是a1与a2n-1的等差中项即2an=a1+a2n-1带进成立。

公式为Sn=n(a1+an)/2，推导：

Sn=a1+a2+……+a(n-1)+an。

则由加法交换律

Sn=an+a(n-1)+……+a2+a1。

两式相加：

2Sn=(a1+an)+[a2+a(n-1)]+……+[a(n-1)+a2]+(an+a1)。

因为等差数列中a1+an=a2+a(n-1)=……

故此，2Sn=n(a1+an)。

故此，Sn=(a1+an)*n/2。

扩展资料：

等差数列性质

1、在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

2、记等差数列的前n项和为S。（1）若a 0，公差d0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 大；（2）若a0 ，公差d0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 小。

3、数列为等差数列的重要的因素是：数列的前n项和S 可以写成S=an^2+bn的形式(这当中a、b为常数)。

等差数列前n项和公式的性质？

等差数列前n项和公式性质：

1、数列的前n项和S 可以写成S =an^2+bn的形式(这当中a、b为常数)。在等差数列中，S = a，S = b (nm)，则S = (a－b)。

2、记等差数列的前n项和为S。若a 0，公差d0，则当a ≥0且an+1≤0时，S大；若a 0，公差d0，则当a ≤0且an+1≥0时，S小。

等差数列的应用平日生活中，大家经常用到等差数列如：在给各自不同的产品的尺寸划分级别时，当这当中的大尺寸与小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

等差数列前N项和性质？

等差数列前n项和的基本性质有:1、等差数列的前n项和的形式是常数项为零的二次函数形式；

2、每k项的和也成等差数列，即:Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列；

3、项数为奇数的等差数列的和等于项数乘以中间项.

等差数列前N项和的性质？

前N项和的性质：

Sn是公差为d的等差数列｛an｝前n项的和。

1、（Sn/n）也是等差数列，公差为d/n;

2、Sm，S2m-Sm，S3m-S2也是等差数列，公差为d•m^2;

3、an/bn=(S2n)/(T2n). (T2n是等差数列｛bn｝的前n项和)。

等差数列性质公式总结？

解答：

等差数列的性质公式请看下方具体内容：

（一）等差数列的公差等于其任意相邻两项的后项减前项的差。

（二）等差数列的通项公式：an＝a1＋（n-1）d。

（n为项数，d为公差）

（三）等差数列的前n项和S的公式：

S＝n（a1＋an）／2。

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若{an}{bn}为等差数列，则{ an ±bn }与{kan ＋bn}(k、b为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m、n ，在等差数列中有：an = am + (n－m)d（m、n∈N+)，非常地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式具有更多的有大多数情况下性．

⑸、大多数情况下地，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq　.

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．

（7）下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）组成公差为md的等差数列。

⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

等差数列前n项和公式S的基本性质

⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(这当中a、b为常数)．

⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．

⑶若数列为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…也还是成等差数列，公差为 ．

⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．

⑸在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．

⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．

⑺记等差数列的前n项和为S ．（1）若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 大；（2）若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 小．

等差数列的前n项和公式反映了数列的什么性质？

在高中数学重要组成部分的数列里，数列的前n项和公式是求和计算的基础，反映数列求和与数列首项、公差和项数当中的相互关系。

答：以a1为首项，d为公差的等差数列的前n项和Sn的公式为：Sn=n（a1+an）/2

这个公式反映了在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和的性质。

等差数列前n项和性质及证明？

等差数列前n项和公式性质：

1、数列的前n项和S 可以写成S =an^2+bn的形式(这当中a、b为常数)。在等差数列中，S = a，S = b (nm)，则S = (a－b)。

2、记等差数列的前n项和为S。若a 0，公差d0，则当a ≥0且an+1≤0时，S大；若a 0，公差d0，则当a ≤0且an+1≥0时，S小。

等差数列的应用平日生活中，大家经常用到等差数列如：在给各自不同的产品的尺寸划分级别时，当这当中的大尺寸与小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差为n^2*d

证明请看下方具体内容：

sk=ka1+k(k-1)d/2

s2k=2ka1+2k(2k-1)d/2

s3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

s2k-sk=ka1+k(3k-1)d/2

s3k-s2k=ka1+k(5k-1)d/2

(s2k-sk）-sk=k^2*d

(s3k-s2k)-(s2k-sk）=k^2*d

故此，

等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列sk,s2k-sk,s3k-s2k也为等差数列

例子请看下方具体内容：

设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?

运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6

成等差数列

则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)

得到s9-s6=2s6-3s3=45

故a7+a8+a9=45

第二个例子

设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12

则

s2,

s4-s2,

s6-s4

成等差数列，

s2=6，s4-s2=14，s6-s4=22，它们的公差是8是2^2

*2，

故此，

sn,s2n-sn,s3n-s2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。

继续上面这个题，求s20-s18的值

因为s2,

s4-s2,

s6-s4，........是首项为s2，公差为8的等差数列

故此，s20-s18=s2+8*9=6+72=78

答毕