欧拉函数公式大全，欧拉公式的转换

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

欧拉公式

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，那就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes第一给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

扩展资料

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在->数学分析里，而且，在复变函数论里也占有很重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”

cosx和sinx用欧拉公式表示：e^(ix)=cosx+isinx。这当中e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。将公式里的x换成－x，得到：e^(-ix)=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：sinx=/(2i)，cosx=/2。

2倍角变换关系：

二倍角公式通过角α的三角函数值的一部分变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式涵盖正弦二倍角公式、余弦二倍角公式还有正切二倍角公式。

在计算中可以用来化简计算式，减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛地运用。

sin和cos的欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，或sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2。欧拉公式是指以欧拉命名的很多公式。这当中著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式-将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。除开这点，还涵盖其它一部分欧拉公式，如分式公式等。

用两个方程，一个是欧拉公式：exp(ix)=cosx+isinx

在用（-x）代替x代入欧拉公式中得到另一个方程：exp[i(-x)]=cos(-x)+isin(-x)

解这两个方程可以得到

sinx= [exp(ix)-exp(-ix)]/2i

cosx= [exp(ix)+exp(-ix)]/2

欧拉公式详细分不少种：

（1）分式里的欧拉公式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

（2）复变函数论里的欧拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

　　e^ix=cosx+isinx的证明：

　　因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……

　　在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：这当中＂〒＂表示＂减加＂）

　　e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……

　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

　　故此，e^±ix=cosx±isinx

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^iπ+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：

　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr

（4）拓扑学里的欧拉公式：

　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

　　假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），既然如此那，X(P)=2，假设P同胚于一个接有h个环柄的球面，既然如此那，X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的欧拉示性数是拓扑不变量，就是不管再怎么经过拓扑变形也不会改变的量是拓扑学研究的范围。

　　在多面体中地运用:

　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间相关系

　　 　V+F-E=2

　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

（5）初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：φ(n)是全部小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　假设n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，这当中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且，两两不等。则有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以证明它。

　　除开这点，还有不少著名定理都以欧拉的名字命名。

　　(6) 立体图形里的欧拉公式：

　　面数+顶点数—2=棱数

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。