ln函数推导，ln的运算法则及推理过程?

ln函数的运算法则：ln(MN)=lnM+lnN，ln(M/N)=lnM-lnN，ln（M^n)=nlnM，ln1=0，lne=1，注意，拆开后，M，N需大于0。没有ln(M+N)=lnM+lnN，和ln(M-N)=lnM-lnN，lnx是e^x的反函数。

ln的运算法则及推导公式及表达方法

Ln的运算法则

（1）ln(MN)=lnM+lnN

（2）ln(M/N)=lnM-lnN

（3）ln（M^n)=nlnM

（4）ln1=0

（5）lne=1

注意：拆开后，M，N需大于0。自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N0)。

对数的推导公式

（1）log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

（2）loga(b)*logb(a)=1

（3）loge(x)=ln(x)

（4）lg(x)=log10(x)

log(a)(b)表示以a为底b的对数。

换底公式拓展：以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）

表达方法

1.经常会用到对数：lg(b)=log(10)(b)

2.自然对数：ln(b)=log(e)(b)

一般情况下只取e=2.71828对数函数的定义

对数函数的大多数情况下形式为y=㏒(a)x，它其实就是指数函数的反函数(图象有关直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定（a0且a≠1），右图给出针对不一样大小a所表示的函数图形：有关X轴对称。

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的有关直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

公式大全对数公式

ln(MN)=lnM+lnN，ln(M/N)=lnM-lnN，ln（M^n)=nlnM，ln1=0，lne=1，注意，拆开后，M，N需大于0。没有ln(M+N)=lnM+lnN，和ln(M-N)=lnM-lnN，lnx是e^x的反函数。

Ln的运算法则

（1）ln(MN)=lnM+lnN

（2）ln(M/N)=lnM-lnN

（3）ln（M^n)=nlnM

（4）ln1=0

（5）lne=1

注意：拆开后，M，N需大于0。自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N0)。

对数的推导公式

（1）log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)

（2）loga(b)*logb(a)=1

（3）loge(x)=ln(x)

（4）lg(x)=log10(x)

log(a)(b)表示以a为底b的对数。

换底公式拓展：以e为底数和以a为底数的公式代换：logae=1/（lna）

扩展资料：

表达方法

1、经常会用到对数：lg(b)=log(10)(b)

2、自然对数：ln(b)=log(e)(b)

一般情况下只取e=2.71828对数函数的定义

对数函数的大多数情况下形式为y=㏒(a)x，它其实就是指数函数的反函数(图象有关直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定（a0且a≠1），右图给出针对不一样大小a所表示的函数图形：有关X轴对称。

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的有关直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

*表示乘号，/表示除号

定义式：

若a^n=b(a0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1.a^(log(a)(b))=b

2.log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n)；

3.log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n)；

4.log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

推导

1.这个就不需要推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带进a^n=b)

2.

mn=m*n

由基本性质1(换掉m和n)

a^[log(a)(mn)]=a^[log(a)(m)]*a^[log(a)(n)]

由指数的性质

a^[log(a)(mn)]=a^{[log(a)(m)]+[log(a)(n)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n)

3.与2类似处理

mn=m/n

由基本性质1(换掉m和n)

a^[log(a)(m/n)]=a^[log(a)(m)]/a^[log(a)(n)]

由指数的性质

a^[log(a)(m/n)]=a^{[log(a)(m)]-[log(a)(n)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(m/n)=log(a)(m)-log(a)(n)

4.与2类似处理

m^n=m^n

由基本性质1(换掉m)

a^[log(a)(m^n)]={a^[log(a)(m)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(m^n)]=a^{[log(a)(m)]*n}

又因为指数函数是枯燥乏味函数，故此，

log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

其他性质：

性质一：换底公式

log(a)(n)=log(b)(n)/log(b)(a)

推导请看下方具体内容

n=a^[log(a)(n)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

n={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

又因为n=b^[log(b)(n)]

故此，

b^[log(b)(n)]=b^{[log(a)(n)]*[log(b)(a)]}

故此，

log(b)(n)=[log(a)(n)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有异议看上面的}

故此，log(a)(n)=l

指数式和对数式是互逆的运算是一个规定，不用证明。

Q1：高中数学对数与指数的转换公式

1对数（1）负数和零没有对数；（2）a0且a≠1,n0；（3）loga1=0,logaa=1,alogan=n,logaab=b.非常地，以10为底的对数叫经常会用到对数，记作log10n,简记为lgn；以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记作logen，简记为lnn.2对数式与指数式的互化对数的运算性质假设a0,a≠1,m0,n0,既然如此那，(1)loga(mn)=logam+logan.(2)logamn=logam-logan.(3)logamn=nlogam(n∈r).2.指数指数式与对数式的互化，一定要并且只要能紧紧抓住对数的定义：a^b=nlogan=b.

Q2：指数函数与对数函数的转换公式

设指数函数为y=a^x 则转换成对数函数是y=loga（x）指数函数合和他对应的对数函数肯定是互为反函数（1+n）^7=10可求得n=log7（10）-1

Q3：怎么指数与对数函数互换

用文字不好叙述，可以给你一个例子：

Q4：急求指数函数和对数函数的运算公式

1对数的概念 假设a(a0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，既然如此那，数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,这当中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： （1）负数和零没有对数； （2）a0且a≠1,N0； （3）loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 非常地，以10为底的对数叫经常会用到对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 假设a0,a≠1,M0,N0,既然如此那， (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：（1）公式中为什么要加条件a0,a≠1，M0,N0? （2）logaan=? (n∈R) （3）对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a0,a≠1,M0,N0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由请看下方具体内容： （1）若a＜0，则N的某些值不存在，比如log-28

Q5：数学中指数与对数的转换关系

log(a)b=c a^c=b注：（a）表示以a为底按这个公式转换

Q6：指数函数与对数函数的转换公式

设指数函数为y=a^x 则转换成对数函数是y=loga（x）指数函数合和他对应的对数函数肯定是互为反函数（1+n）^7=10可求得n=log7（10）-1

对数的换底公式推导是设log(s)b=M，log(s)a =N，log(a)b=R，则s^M=b，s^N=a，a^R=b，即(s^N)^R=a^R=b，s^(NR)=b，故此，M=NR，即R=M/N，log(a)b=log(s)b/log(s)a。

换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。

当a0且a≠1时,M0,N0,既然如此那，：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)；

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)；

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b≠1）

(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：

设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(6)对数恒等式：a^log（a)N=N；

log（a）a^b=b

（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M ,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M ,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M ,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(m/n)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

对数与指数当中的关系

当a0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

1.a^(log(a)(b))=b

MN=M*N 由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]

由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因为指数函数是枯燥乏味函数,故此， log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

复数的对数函数公式：Z=x+iy，这当中为虚数单位，并规定i²=i*i=-1.x与y是任意实数。复变对数函数是实变量对数函数在复数域中的推广。若限制要求-π对数函数是6类基本初等函数之一。这当中对数的定义：假设ax=N（a0，且a≠1），既然如此那，数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，这当中a叫做对数的底数，N叫做真数。

大多数情况下地，函数y=logax（a0，且a≠1）叫做对数函数，其实就是常说的说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。这当中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x0。它其实就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因为这个原因指数函数里针对a的相关规定，同样适用于对数函数