辛普森公式推导，复合辛普森公式应该几等分

设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，假设用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α当中距离h的不能超出3次的函数，既然如此那，该拟柱体的体积V为

V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6.

式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α当中距离h=H/2时得到的截面的面积）。

其实，不只是拟柱体，其他满足条件（全部顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底当中距离的不能超出3次的函数）的立体图形也可利用该公式求体积。

辛普森公式，

每个区间上的积分要涉及到三个点：

区间的两个端点和区间的中点。

故此实质上等价于把每个积分区间等分成两个小区间，

故此4个积分区间，

就基本上相当于分成8个小区间

(要利用中间的7个等分点

Simpson公式的代数精度是3,复化能提升数值精度,但不提升代数精度

用插值的方法计算定积分这里用的是辛普森1/3公式即:积分:(a,b)f(x)dx=h/3*(f1+4f2+2f3+4f4+2f5+...+4fn+fn-1)这当中h是给出的点的间隔,f1,f2..fn是给出的对应点对照公式完全就能够得到你想的式子

牛顿-柯特斯公式

在数值分析上，梯形法则和辛普森法则均是数值积分的方式。它们都是计算定积分的。这两种方式都属于牛顿-柯特斯公式。它们以函数于等距n+1点的值，获取一个n次的多项式来近似原来的函数，再行求积。

科特斯(Cotes)系数

特点：Cotes 系数仅主要还是看 n 和 i，可以通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 为梯形求积公式

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积。梯形公式的余项为 代数精度 = 1

n = 2:

Simpson求积公式（为抛物线求积公式）

辛普森公式的余项为 代数精度 = 3

n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

柯特斯公式的余项为 柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1) 当 n ? 8 时，产生负数，稳定性得不到保证。而且，当 n 很大时，因为Runge情况，收敛性也没办法保证。大多数情况下不采取高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的

复化求积公式特点

直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会很大当n8时，公式的舍入误差又超级难得到控制这个时候，使用复化方式，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，后将每个小区间上的积分的近似值相加，这样的方式称为复化求积法

复化梯形公式余项为 误差是阶 即复化梯形公式是收敛的

误差是h4阶， 复化辛普森公式是收敛的时候，复化柯特斯公式也是收敛的三种复化公式的余项

因为梯形公式的n表示的2a，而辛普森公式的n表示a，则梯形公式就是其两倍

前言：matlab只是个软件，用来完成机械的计算，而具体是怎么安排这些计算，需用户掌握并熟悉基本的数学概念。这篇将讲解工程数学中经常会用到的数学概念，与matlab似乎依然不会有关，但实则是matlab的基础。

1.数值与符号

假设给工程数学问题分类，大的两类肯定是数值问题和符号问题，对应matlab的数值运算和符号运算。简来说之，数值运算就是全部的变量的值已知，解答的也是一部分详细的值；符号运算则刚好相反，不要求全部的变量都已知，解答的结果也不是变量详细的值，而是变量当中的关系。一个简单的例子是

（1）数值问题：解答一元二次方程，ax2+bx+c=0，这当中a=b=c=1，所求得的结果一定是x=几点几+几点几i是个复数是个详细的数值。

（2）符号问题：解答一元二次方程，ax2+bx+c=0，所求的结果一定是x=求根公式是abc的函数是个关系

可见，一个问题是数值问题还是符号问题，很大程度上决计划于结果需解答的是数值还是关系。当然两个问题也可相互转化，例如数值问题的一元二次方程，我们大多数情况下会先转化成符号问题，把abc代入求根公式，得出来变量x的详细数值。但实质上中，大多数情况下我们依然不会推荐这样做，因素是matlab的数值和符号是完全不一样的两套系统，相互转化不仅需多余的数值符号转换语言，更可能带来查错的不便。

2.典型数值问题

下面这些内容就是常见的数值问题，文中提到的解法都可以在数值计算、科学计算、数值算法这种类型书中找到。

2.1代数方程

代数方程又分为线性方程和非线性方程，线性方程大多数情况下可以转化为矩阵形式AX=b，对A求逆就可以。求逆的数值解法大多数情况下有高斯赛德尔迭代，超松弛迭代等。非线性方程大多数情况下转化为f(x)=zeros这当中x是个向量，右侧的zeros表示f是个多输出函数，数值解法大多数情况下是迭代，常见的有牛顿迭代，速梯度，点斜式等。

2.2常微分方程

常微分方程大多数情况下转化为Dy=f(y,t)，且y(0)=y0是初始条件，这当中y和Dy都是向量，f也是个多输出函数，数值解法有欧拉法，龙格库塔法。

2.3偏微分方程

偏微分方程比较复杂，matlab处理偏微分方程也不专业，我也基本上不需要matlab处理这种类型问题。但工程数学上，偏微分方程的解法有两类，差分法和有限元法。差分法需采取中心差分，迎风差分等。有限元需计算刚度矩阵等。

2.4插值和拟合

插值和拟合是完全不一样的两个数学概念，虽然不少时候不少人都混淆了。两者的描述都可以归结为：已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)，求一个已知的x，对应的y的数值。插值经常会用到的多项式插值，三次样条插值。拟合的实质是一个优化问题，这当中经常会用到的一种拟合是线性拟合，解答方式是小二乘法。

2.5离散周期傅里叶变换

严格说来，这依然不会能算一个数学问题，只是一种运算方法，就好像加减乘除一样。特殊性在于这样的变换是针对一个向量进行，且运算后的结果仍然是个向量。这里提出来是为了强调这样的傅里叶变换的限制要求，要求是离散周期，这也是数值方式能处理的唯一一种傅里叶变换。

2.6优化问题

优化问题比较宽泛，大多数情况下可以归结为求目标函数f(x)的大或者小值，这当中f是一个单输出的函数，x是一个向量。这当中x需满足线性管束条件、非线性管束条件、上下界。详细的解法有速梯度，遗传，蚁群，退火等算法。

2.7数值积分

已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，求函数在x1到xn的定积分。常见算法有矩形公式，梯形公式，辛普森公式。类似的问题还有数值求导。

3.典型符号问题

下面这些内容就是常见的符号问题，需非常指出的是，无解问题。数值问题中也有一些无解问题，但大多数工程中是碰不到的。而符号问题恰好相反，超过百分之80我们碰见的符号问题都是没有解的，或者准确的说，没有剖析解读解。例如求一元五次方程，我们清楚x和这些系数存在关系，但没办法写出显式的表达式，其实就是常说的说没有剖析解读解。

3.1递推转通项

这个问题可以归结为：已知xn+1=f(xn)，求xn，常见于数列的推导。

3.2代数方程

区别于数值问题中的代数方程， 这里的代数方程问题可以描述为：f(x,c)=0，求x=x(c)，这里需解答的实际上是x和c的关系。

3.3常微分方程

区别于数值问题中的常微成绩方程， 这里的代数方程问题可以描述为：Dy=f(y,t,c)，求y=x(t,c)，大多数情况下不需要初值条件。

3.4符号积分

区别于数值问题中的数值积分，这里的符号积分可以描述为：已知函数关系y=f(x)，求y的不定积分。同样的问题还有符号求导。

matlab基本教程（一）：软件基本概念

前言：（1）假设你是首次使用matlab，建议阅读本教程。（2）以2023a版本为基础，适用于2023a及后面的版本，以前的版本未测试。（3）结合这60天在坛子里回答的问题，整理成教程，水平有限，欢迎指正。

1.matlab的界面

home标签下，找到layout进行设置/复位，可以设置各板块的显示与隐藏。这当中有哪些部分，请一定要显示

（1）Current Folder：中文大多数情况下翻译成工作路径，大多数情况下设置成一个自己建立的、有读写权限的文件夹，比如我的文档下建立一个matlab文件夹

（2）Command Window：字面名字所表达出来的意思是命令窗口，用来运行代码，全部的代码全部在这里输入

（3）Workspace：字面名字所表达出来的意思是工作空间，实际上就是暂存全部运行结果的地方，“暂”的详细含义是：关闭matlab后丢失

2.软件中的基本概念

2.1 函数

matlab之故此，强大，就是因为提供非常多的函数，你同样完全可以建立自定义函数，方式是：Home-New-function。自定义函数大多数情况下保存在工作路径下。函数文件的特点是：扩展名m，内容的第一行以function开头，后续内容是“输出变量=函数名(输入变量)”。且函数名和文件名一样。

每个函数在Command Window中运行，用来完成特定的计算任务，运行方法是输入“输出变量=函数名(输入变量)”，然后按回车。比如有一个系统自带的函数是用来求绝对值的，函数名abs，故此，在Command Window里输入“a=abs(-1)”，就可以显示运算结果为“a=1”。且运算结果会在Workspace里产生一个变量a，双击后可看到a的值是1。

2.2 脚本

可以理解为特殊的函数，这样的函数内容的开头没有function那行，因为这个原因没有输入、输出变量，也没有函数名。文件扩展名和函数一样是m，也一定要在Command Window里运行。脚本都是用户建立的，方式是：Home-New Script。大多数情况下保存在工作路径下。脚本的功能就是完成用户需的、复杂的计算任务，一般脚本里会调用不少函数。

2.3 GUI

大多数情况下翻译为界面，就是人机交互界面的意思。写脚本处理问题的方式有点麻烦，让人给人的印象更像是码农，故此，目前不少问题可以通过界面点点鼠标处理。这时候还要打开界面，打开方式是：在APPS标签里可以找到全部已安装的GUI工具，单击就可以。注意右边有一个小三角可以点开。和函数一样，用户也可自己建立自定义GUI，这部分较为复杂，对新手来说有点遥远。

2.4 toolbox

大多数情况下翻译成工具箱，matlab将功能相近或者应用上自成体系的一组函数和GUI打包成一个toolbox。正版的matlab在购买时，基本上每一个toolbox都是要独自收取的费用的，故此，toolbox也可理解为matlab产品的模块，一个工具箱就是一个产品/商品。

2.5 simulink

大多数情况下用matlab处理问题的过程是：用户自定义脚本，在Command Window里运行脚本。而脚本的运行逻辑是顺序执行，和大多数情况下的编程一样。simulink则提供另一种思路，图形化编程，有点像labview，这样的方式很合适于物理模型的仿真，因为这个原因有的时候，用“matlab编程”和“simulink仿真”强调。使用方式是在home标签下点击simulink。

3.取得帮

经常会用到的取得帮有四种方式

（1）home标签里，有一个Help标志，点开后可以取得各工具箱/产品的完整帮文档。新版本中默认使用在线，改用本地帮的办法是在home标签里，Preferences下的matlab/Help里选择installed locally

（2）cn.mathworks.com官方网站上找到支持，然后可以取得教程。这样的方式取得的帮文档和第一种方式一样。

（3）在Command Window里输入 doc+函数名 来取得帮。例如输入doc fft可以取得离散傅里叶变换函数fft的帮和例子。这样的方式取得的文档是前两种方式文档中的部分。 前提是你要清楚函数名，才可以找到帮。这样的方式合适于取得系统自带函数的使用说明。

（4）使用GUI时，一般界面的角落里有Help，点开可以取得帮。这样的方式取得的文档是第一和第二种方式文档中的部分。这样的方式合适于取得系统自带GUI的使用说明。

这几种方式中，经常会用到的是第三种，只要清楚自己需的函数名，完全就能够用这样的方法取得说明和例子。而实质上使用中，大多数情况下经常会用到的系统自带函数，也并非很多，大约几十个？真正需牢牢的记在心里，不能忘了使用方式的可能就哪些，一般都是清楚函数名，要用时doc一下。