sinx欧拉公式推导sinax的欧拉公式

欧拉公式sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，那就是欧拉定理。

它于1640年由Descartes第一给出证明，后来Euler（欧拉）于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。R+V-E=2就是欧拉公式

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 这个时候三角函数定义域已推广至整个复数集。

欧拉公式cosx=(e^ix+e^-ix)，这当中e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

推导过程：

因为cosx+isinx=e^ix；

cosx-isinx=e^-ix。

两式相加，得：2cosx=e^ix+e^-ix，把2除过去完全就能够得到cosx=(e^ix+e^-ix)/2。

两式相减，得：2isinx=e^ix-e^-ix,把2i除过去完全就能够得到sinx=(e^ix-e^-ix)/2i。

欧拉公式详细分不少种：

（1）分式里的欧拉公式：

　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

　　当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1

　　当r=3时值为a+b+c

（2）复变函数论里的欧拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。

　　e^ix=cosx+isinx的证明：

　　因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……

　　在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=〒i, (±i)^4=1 ……（注意：这当中＂〒＂表示＂减加＂）

　　e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……

　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)

　　故此，e^±ix=cosx±isinx

　　将公式里的x换成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^iπ+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：

　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr

（4）拓扑学里的欧拉公式：

　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

　　假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），既然如此那，X(P)=2，假设P同胚于一个接有h个环柄的球面，既然如此那，X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的欧拉示性数是拓扑不变量，就是不管再怎么经过拓扑变形也不会改变的量是拓扑学研究的范围。

　　在多面体中地运用:

　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间相关系

　　 　V+F-E=2

　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

（5）初等数论里的欧拉公式：

　　欧拉φ函数：φ(n)是全部小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。

　　欧拉证明了下面这个式子：

　　假设n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，这当中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且，两两不等。则有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以证明它。

　　除开这点，还有不少著名定理都以欧拉的名字命名。

　　(6) 立体图形里的欧拉公式：

　　面数+顶点数—2=棱数

欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间相关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。欧拉定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数当中特有的规律（2）思想方式创新：定理发现证明途中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方式上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量出现了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不可以撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这样的变形途中的不变的性质。（4）提出多面体分类方式：在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。除简单多面体外，还有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面对应顶点得到的多面体。它的表面不可以经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。欧拉定理的证明方式1：（利用几何画板）一步一步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD作为例子分析证法。去除一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因为这个原因，要研究V、E和F关系，只要能去除一个面变为平面图形，证V+F1-E=1（1）去除一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去除全部的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去除一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，故此，加上去除的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方式，都是只剩下一条线段。因为这个原因公式对任意简单多面体都是正确的。　方式2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求全部面内角总和Σα一个方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)・1800+(n2-2)・1800 +…+(nF-2) ・1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ・1800=(2E-2F) ・1800 = (E-F) ・3600 （1）另外一个方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)・1800，则全部V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)・3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)・1800。故此多面体各面的内角总和：Σα=(V-n)・3600+(n-2)・1800+(n-2)・1800 =（V-2）・3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ・3600 =（V-2）・3600 故此， V+F-E=2. 欧拉定理地运用方式（1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，比如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。实际上欧拉公式是有不少的，上面仅是哪些经常会用到的。使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，这当中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，既然如此那，面数F＝x＋y棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12故此，共有12块黑皮子故此黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的针对白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，故此，白皮子全部边的一半是与黑皮子缝合在一起的既然如此那，白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20故此，共有20块白皮子 经济学中的“欧拉定理”在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表达为Q＝Q(L，K)，假设详细的函数形式是一次齐次的，既然如此那，就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽主要还是看Q能不能表示为一个一次齐次函数形式。 因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被默认为劳动对产量的奉献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被默认为资本对产量的奉献，因为这个原因，此式被解释为“产品分配净尽定理”，其实就是常说的全部产品都被全部的要素恰好分配完而没有剩下。因为形式上满足数学欧拉定理，故此，称为欧拉定理。【同余理论中的"欧拉定理"】设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的简系个数)欧拉公式在数学历史上有不少公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 1、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有很重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方式得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里重要，要优先集中精力的哪些数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只可以看它而不可以理解它。2、拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。假设P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），既然如此那，X(P)=2，假设P同胚于一个接有h个环柄的球面，既然如此那，X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量是拓扑学研究的范围。3、初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是全部小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉证明了下面这个式子：假设n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，这当中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且，两两不等。则有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以证明它。

这个定理内容是：假设一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，既然如此那，它们总有这样的关系：f+ve2